Algèbre Exemples

$x^{4} + 2 x^{3} - x - 2$

Étape 1

Écrivez $x^{4} + 2 x^{3} - x - 2$ comme une équation.

$y = x^{4} + 2 x^{3} - x - 2$

Étape 2

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 2.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{4} + 2 x^{3} - x - 2$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} + 2 x^{3} - x - 2 = 0$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - x - 2 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{4} + 2 x^{3}) - x - 2 = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{3} (x + 2) - (x + 2) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 1) = 0$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Étape 2.2.2.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 2) ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Étape 2.2.2.5

Factorisez.

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Étape 2.2.2.5.1

Simplifiez

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Étape 2.2.2.5.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x + 2) ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Étape 2.2.2.5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x + 2) ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Étape 2.2.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.2.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.2.6

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 2.2.6.2

Résolvez $x^{2} + x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.2.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.2.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.2.6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.2.6.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.2.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.2.6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.2.6.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ vraie.

$x = - 2, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- 2, 0), (1, 0)$

Étape 3

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 3.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - (0) - 2$

Étape 3.2

Résolvez l’équation.

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} + 2 {(0)}^{3} - (0) - 2$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} + 2 \cdot 0^{3} - (0) - 2$

Étape 3.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - (0) - 2$

Étape 3.2.4

Simplifiez ${(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - (0) - 2$ .

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 2 {(0)}^{3} - (0) - 2$

Étape 3.2.4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 2 \cdot 0 - (0) - 2$

Étape 3.2.4.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - (0) - 2$

Étape 3.2.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 2$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 - 2$

Étape 3.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 2$

Étape 3.2.4.2.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$y = - 2$

Étape 3.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 2)$

Étape 4

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- 2, 0), (1, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 2)$

Étape 5