Algèbre Exemples

$\frac{k}{x^{n}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d k} [\frac{f (k)}{g (k)}]$ est $\frac{g (k) \frac{d}{d k} [f (k)] - f (k) \frac{d}{d k} [g (k)]}{{g (k)}^{2}}$ où $f (k) = k$ et $g (k) = x^{n}$ .

$\frac{x^{n} \frac{d}{d k} [k] - k \frac{d}{d k} [x^{n}]}{{(x^{n})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ est $n k^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{n} \cdot 1 - k \frac{d}{d k} [x^{n}]}{{(x^{n})}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $x^{n}$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $x^{n}$ par rapport à $k$ est $0$ .

$\frac{x^{n} \cdot 1 - k \cdot 0}{{(x^{n})}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $x^{n}$ par $1$ .

$\frac{x^{n} - k \cdot 0}{{(x^{n})}^{2}}$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $- k \cdot 0$ .

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Étape 3.1.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{x^{n} + 0 k}{{(x^{n})}^{2}}$

Étape 3.1.1.2.2

Multipliez $0$ par $k$ .

$\frac{x^{n} + 0}{{(x^{n})}^{2}}$

Étape 3.1.2

Additionnez $x^{n}$ et $0$ .

$\frac{x^{n}}{{(x^{n})}^{2}}$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{n})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{n}}{x^{n \cdot 2}}$

Étape 3.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $n$ .

$\frac{x^{n}}{x^{2 n}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{n}$ et $x^{2 n}$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x^{2 n}$ à partir de $x^{n}$ .

$\frac{x^{2 n} x^{- n}}{x^{2 n}}$

Étape 3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{x^{2 n} x^{- n}}{x^{2 n} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2 n} x^{- n}}{x^{2 n} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{- n}}{1}$

Étape 3.2.2.2.4

Divisez $x^{- n}$ par $1$ .

$x^{- n}$