Algèbre Exemples

${(4 u + 1)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(4 u)}^{4 - k} \cdot {(1)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(4 u)}^{4 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(4 u)}^{4 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(4 u)}^{4 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(4 u)}^{4 - 3} \cdot {(1)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(4 u)}^{4 - 4} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(4 u)}^{4} \cdot {(1)}^{0} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{0}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Déplacez ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(4 u)}^{4} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.1.2

Multipliez ${(1)}^{0}$ par $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(4 u)}^{4} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1^{0 + 1} \cdot {(4 u)}^{4} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$1^{1} \cdot {(4 u)}^{4} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.2

Simplifiez $1^{1} \cdot {(4 u)}^{4}$ .

${(4 u)}^{4} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $4 u$ .

$4^{4} u^{4} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.4

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$256 u^{4} + 4 \cdot {(4 u)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.5

Appliquez la règle de produit à $4 u$ .

$256 u^{4} + 4 \cdot (4^{3} u^{3}) \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.6

Multipliez $4$ par $4^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Déplacez $4^{3}$ .

$256 u^{4} + 4^{3} \cdot 4 \cdot u^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.6.2

Multipliez $4^{3}$ par $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$256 u^{4} + 4^{3} \cdot 4^{1} \cdot u^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$256 u^{4} + 4^{3 + 1} \cdot u^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$256 u^{4} + 4^{4} \cdot u^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.7

Simplifiez $4^{4} \cdot u^{3} \cdot {(1)}^{1}$ .

$256 u^{4} + 4^{4} \cdot u^{3} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.8

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$256 u^{4} + 256 \cdot u^{3} + 6 \cdot {(4 u)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.9

Appliquez la règle de produit à $4 u$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 6 \cdot (4^{2} u^{2}) \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.10

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 6 \cdot (16 u^{2}) \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.11

Multipliez $16$ par $6$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} \cdot 1 + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.13

Multipliez $96$ par $1$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 4 \cdot {(4 u)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.14

Simplifiez

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 4 \cdot (4 u) \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.15

Multipliez $4$ par $4$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u \cdot 1 + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.17

Multipliez $16$ par $1$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + 1 \cdot {(4 u)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.18

Multipliez $1$ par ${(1)}^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.1

Déplacez ${(1)}^{4}$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + {(1)}^{4} \cdot 1 \cdot {(4 u)}^{0}$

Étape 4.18.2

Multipliez ${(1)}^{4}$ par $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + {(1)}^{4} \cdot 1^{1} \cdot {(4 u)}^{0}$

Étape 4.18.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + 1^{4 + 1} \cdot {(4 u)}^{0}$

Étape 4.18.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + 1^{5} \cdot {(4 u)}^{0}$

Étape 4.19

Simplifiez $1^{5} \cdot {(4 u)}^{0}$ .

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + 1^{5}$

Étape 4.20

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$256 u^{4} + 256 u^{3} + 96 u^{2} + 16 u + 1$