Algèbre Exemples

$(x^{5} + 2 x^{4} - 6 x^{3} + x^{2} - 5 x + 1) \div (x^{3} + 1)$

Étape 1

Pour calculer le reste, commencez par diviser les polynômes.

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{3}$ .

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{5} + 0 + 0 + x^{2}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$0$

Étape 1.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$0$

$5 x$

$1$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{3}$ .

$x^{2}$

$2 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$0$

$5 x$

$1$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{2}$

$2 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$0$

$5 x$

$1$

$2 x^{4}$

$0$

$2 x$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{4} + 0 + 0 + 2 x$

								$x^{2}$	+	$2 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{5}$	+	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
							-	$x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$x^{2}$
									+	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$	+	$0$	-	$5 x$	+	$1$
									-	$2 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$2 x$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

								$x^{2}$	+	$2 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{5}$	+	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
							-	$x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$x^{2}$
									+	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$	+	$0$	-	$5 x$	+	$1$
									-	$2 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$2 x$
											-	$6 x^{3}$	+	$0$	-	$7 x$

Étape 1.11

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

								$x^{2}$	+	$2 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{5}$	+	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
							-	$x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$x^{2}$
									+	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$	+	$0$	-	$5 x$	+	$1$
									-	$2 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$2 x$
											-	$6 x^{3}$	+	$0$	-	$7 x$	+	$1$

Étape 1.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{3}$ .

								$x^{2}$	+	$2 x$	-	$6$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{5}$	+	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
							-	$x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$x^{2}$
									+	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$	+	$0$	-	$5 x$	+	$1$
									-	$2 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$2 x$
											-	$6 x^{3}$	+	$0$	-	$7 x$	+	$1$

Étape 1.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

								$x^{2}$	+	$2 x$	-	$6$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{5}$	+	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
							-	$x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$x^{2}$
									+	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$	+	$0$	-	$5 x$	+	$1$
									-	$2 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$2 x$
											-	$6 x^{3}$	+	$0$	-	$7 x$	+	$1$
											-	$6 x^{3}$	+	$0$	+	$0$	-	$6$

Étape 1.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x^{3} + 0 + 0 - 6$

								$x^{2}$	+	$2 x$	-	$6$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{5}$	+	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
							-	$x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$x^{2}$
									+	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$	+	$0$	-	$5 x$	+	$1$
									-	$2 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$2 x$
											-	$6 x^{3}$	+	$0$	-	$7 x$	+	$1$
											+	$6 x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$6$

Étape 1.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

								$x^{2}$	+	$2 x$	-	$6$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{5}$	+	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
							-	$x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$x^{2}$
									+	$2 x^{4}$	-	$6 x^{3}$	+	$0$	-	$5 x$	+	$1$
									-	$2 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$2 x$
											-	$6 x^{3}$	+	$0$	-	$7 x$	+	$1$
											+	$6 x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$6$
															-	$7 x$	+	$7$

Étape 1.16

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x^{2} + 2 x - 6 + \frac{- 7 x + 7}{x^{3} + 1}$

Étape 2

Comme le dernier terme dans l’expression obtenue est une fraction, le numérateur de la fraction est le reste.

$- 7 x + 7$