Algèbre Exemples

$(5, 3)$ , $(4, - 7)$

Étape 1

Le diamètre d’un cercle est tout segment de droite passant par le centre du cercle et dont les points finaux sont sur la circonférence du cercle. Les points finaux donnés du diamètre sont $(5, 3)$ et $(4, - 7)$ . Le point central du cercle est le centre du diamètre, qui est le point médian entre $(5, 3)$ et $(4, - 7)$ . Dans ce cas le point médian est $(\frac{9}{2}, - 2)$ .

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Étape 1.1

Utilisez la formule du point médian pour déterminer le point médian du segment de droite.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs pour $(x_{1}, y_{1})$ et $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{5 + 4}{2}, \frac{3 - 7}{2})$

Étape 1.3

Additionnez $5$ et $4$ .

$(\frac{9}{2}, \frac{3 - 7}{2})$

Étape 1.4

Soustrayez $7$ de $3$ .

$(\frac{9}{2}, \frac{- 4}{2})$

Étape 1.5

Divisez $- 4$ par $2$ .

$(\frac{9}{2}, - 2)$

Étape 2

Déterminez le rayon $r$ pour le cercle. Le rayon est tout segment de droite du centre du cercle à tout point sur sa circonférence. Dans ce cas, $r$ est la distance entre $(\frac{9}{2}, - 2)$ et $(5, 3)$ .

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Étape 2.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

$r = \sqrt{{(5 - \frac{9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3.2

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$r = \sqrt{{(\frac{5 \cdot 2 - 9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$r = \sqrt{{(\frac{10 - 9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3.4.2

Soustrayez $9$ de $10$ .

$r = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$r = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(3 + 2)}^{2}}$

Étape 2.3.9

Additionnez $3$ et $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + 5^{2}}$

Étape 2.3.10

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + 25}$

Étape 2.3.11

Pour écrire $25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + 25 \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 2.3.12

Associez $25$ et $\frac{4}{4}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4}}$

Étape 2.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$r = \sqrt{\frac{1 + 25 \cdot 4}{4}}$

Étape 2.3.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.14.1

Multipliez $25$ par $4$ .

$r = \sqrt{\frac{1 + 100}{4}}$

Étape 2.3.14.2

Additionnez $1$ et $100$ .

$r = \sqrt{\frac{101}{4}}$

Étape 2.3.15

Réécrivez $\sqrt{\frac{101}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{101}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \frac{\sqrt{101}}{\sqrt{4}}$

Étape 2.3.16

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.16.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{101}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 2.3.16.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = \frac{\sqrt{101}}{2}$

Étape 3

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ est l’équation correspondant à un cercle avec un rayon $r$ et un point central $(h, k)$ . Dans ce cas, $r = \frac{\sqrt{101}}{2}$ et le point central est $(\frac{9}{2}, - 2)$ . L’équation correspondant au cercle est ${(x - (\frac{9}{2}))}^{2} + {(y - (- 2))}^{2} = {(\frac{\sqrt{101}}{2})}^{2}$ .

${(x - (\frac{9}{2}))}^{2} + {(y - (- 2))}^{2} = {(\frac{\sqrt{101}}{2})}^{2}$

Étape 4

L’équation du cercle est ${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{101}{4}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{101}{4}$

Étape 5