Algèbre Exemples

${(x + \frac{1}{x})}^{5}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(x + \frac{1}{x})}^{5}$ , $n = 5$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $6$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $x$ et $b$ $\frac{1}{x}$ dans l’expression.

$1 {(x)}^{5} {(\frac{1}{x})}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x)}^{5}$ par $1$ .

${(x)}^{5} {(\frac{1}{x})}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1^{0}}{x^{0}} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{5} \frac{1}{x^{0}} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{5} \frac{1}{1} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.5

Divisez $1$ par $1$ .

$x^{5} \cdot 1 + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.6

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.7

Simplifiez

$x^{5} + 5 x^{4} \frac{1}{x} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.8.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{4}$ .

$x^{5} + x (5 x^{3}) \frac{1}{x} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.8.2

Annulez le facteur commun.

$x^{5} + x (5 x^{3}) \frac{1}{x} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.8.3

Réécrivez l’expression.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x^{3} \frac{1^{2}}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x^{3} \frac{1}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.11

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.11.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $10 x^{3}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + x^{2} (10 x) \frac{1}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.11.2

Annulez le facteur commun.

$x^{5} + 5 x^{3} + x^{2} (10 x) \frac{1}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.11.3

Réécrivez l’expression.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.12

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 x^{2} \frac{1^{3}}{x^{3}} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 x^{2} \frac{1}{x^{3}} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.14

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.14.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $10 x^{2}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + x^{2} \cdot 10 \frac{1}{x^{3}} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.14.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + x^{2} \cdot 10 \frac{1}{x^{2} x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.14.3

Annulez le facteur commun.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + x^{2} \cdot 10 \frac{1}{x^{2} x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.14.4

Réécrivez l’expression.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 \frac{1}{x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.15

Associez $10$ et $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.16

Simplifiez

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 x {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.17

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 x \frac{1^{4}}{x^{4}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.18

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 x \frac{1}{x^{4}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.19

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.19.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + x \cdot 5 \frac{1}{x^{4}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.19.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + x \cdot 5 \frac{1}{x \cdot x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.19.3

Annulez le facteur commun.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + x \cdot 5 \frac{1}{x \cdot x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.19.4

Réécrivez l’expression.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 \frac{1}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.20

Associez $5$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.21

Multipliez ${(x)}^{0}$ par $1$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.22

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.23

Multipliez ${(\frac{1}{x})}^{5}$ par $1$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + {(\frac{1}{x})}^{5}$

Étape 4.24

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + \frac{1^{5}}{x^{5}}$

Étape 4.25

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + \frac{1}{x^{5}}$