Algèbre Exemples

$f (x) = x^{2}$ , $(0, 0)$

Étape 1

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez $f (x) = x^{2}$ sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 1.1.2.2

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 1.2

Comme $0 = 0$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 2

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

$m$ $=$ La dérivée de $f (x) = x^{2}$

Étape 3

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 4

Déterminez les composants de la définition.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h)$

Étape 4.1.2.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h)$

Étape 4.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h)$

Étape 4.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h$

Étape 4.1.2.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2}$

Étape 4.1.2.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2}$

Étape 4.1.2.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}$

Étape 4.1.2.4

La réponse finale est $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2}$

Étape 4.2.2

Remettez dans l’ordre $2 h x$ et $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Étape 4.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2}$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2}$

Étape 5

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - (x^{2})}{h}$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Étape 6.1.2

Additionnez $h^{2} + 2 h x$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x}{h}$

Étape 6.1.3

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} + 2 h x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x}{h}$

Étape 6.1.3.2

Factorisez $h$ à partir de $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x)}{h}$

Étape 6.1.3.3

Factorisez $h$ à partir de $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Étape 6.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $h + 2 x$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x$

Étape 6.2.2

Remettez dans l’ordre $h$ et $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h$

Étape 7

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $2 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h$

Étape 8

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$2 x + 0$

Étape 9

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 10

Multipliez $2$ par $0$ .

$m = 0$

Étape 11

La pente est $m = 0$ et le point central est $(0, 0)$ .

$m = 0, (0, 0)$

Étape 12

Déterminez la valeur de $b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer $b$ .

$y = m x + b$

Étape 12.2

Remplacez la valeur de $m$ dans l’équation.

$y = (0) \cdot x + b$

Étape 12.3

Remplacez la valeur de $x$ dans l’équation.

$y = (0) \cdot (0) + b$

Étape 12.4

Remplacez la valeur de $y$ dans l’équation.

$0 = (0) \cdot (0) + b$

Étape 12.5

Déterminez la valeur de $b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.1

Réécrivez l’équation comme $(0) \cdot (0) + b = 0$ .

$(0) \cdot (0) + b = 0$

Étape 12.5.2

Simplifiez $(0) \cdot (0) + b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.2.1

Multipliez $0$ par $0$ .

$0 + b = 0$

Étape 12.5.2.2

Additionnez $0$ et $b$ .

$b = 0$

Étape 13

Maintenant que les valeurs de $m$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans $y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = 0$

Étape 14