Algèbre Exemples

$f (x) = {(x - 13)}^{4} - 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x - 13)}^{4} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(x - 13)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 13)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x - 13)}^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x - 13$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 13$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x - 13] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x - 13] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 13$ .

$4 {(x - 13)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 13] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 13$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 13]$ .

$4 {(x - 13)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 13]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(x - 13)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 13]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.4

Comme $- 13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 13$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(x - 13)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 {(x - 13)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 {(x - 13)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(x - 13)}^{3} + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $4 {(x - 13)}^{3}$ et $0$ .

$4 {(x - 13)}^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 {(x - 13)}^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [{(x - 13)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x - 13)}^{3})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 13$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 13$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 13))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 13))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 13$ .

$f'' (x) = 4 (3 {(x - 13)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 13))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 ({(x - 13)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 13))$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 13$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 13]$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 13)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 13))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 13)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 13))$

Étape 2.3.4

Comme $- 13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 13$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 13)}^{2} (1 + 0)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 13)}^{2} \cdot 1$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 13)}^{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 {(x - 13)}^{3} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x - 13)}^{4} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(x - 13)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 13)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x - 13)}^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x - 13$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 13$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x - 13] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x - 13] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 13$ .

$4 {(x - 13)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 13] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 13$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 13]$ .

$4 {(x - 13)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 13]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(x - 13)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 13]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.2.4

Comme $- 13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 13$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(x - 13)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 {(x - 13)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 {(x - 13)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(x - 13)}^{3} + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $4 {(x - 13)}^{3}$ et $0$ .

$f' (x) = 4 {(x - 13)}^{3}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 {(x - 13)}^{3}$ .

$4 {(x - 13)}^{3}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 {(x - 13)}^{3} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 {(x - 13)}^{3} = 0$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $4 {(x - 13)}^{3} = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 {(x - 13)}^{3} = 0$ par $4$ .

$\frac{4 {(x - 13)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 {(x - 13)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez ${(x - 13)}^{3}$ par $1$ .

${(x - 13)}^{3} = \frac{0}{4}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

${(x - 13)}^{3} = 0$

Étape 5.3

Définissez le $x - 13$ égal à $0$ .

$x - 13 = 0$

Étape 5.4

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 13$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 13$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 13$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {((13) - 13)}^{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Soustrayez $13$ de $13$ .

$12 \cdot 0^{2}$

Étape 9.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 \cdot 0$

Étape 9.3

Multipliez $12$ par $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 13) \cup (13, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, 13)$ dans la dérivée première $4 {(x - 13)}^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 4 {((0) - 13)}^{3}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $13$ de $0$ .

$f' (0) = 4 {(- 13)}^{3}$

Étape 10.2.2.2

Élevez $- 13$ à la puissance $3$ .

$f' (0) = 4 \cdot - 2197$

Étape 10.2.2.3

Multipliez $4$ par $- 2197$ .

$f' (0) = - 8788$

Étape 10.2.2.4

La réponse finale est $- 8788$ .

$- 8788$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $16$ , de l’intervalle $(13, \infty)$ dans la dérivée première $4 {(x - 13)}^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $16$ dans l’expression.

$f' (16) = 4 {((16) - 13)}^{3}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Soustrayez $13$ de $16$ .

$f' (16) = 4 \cdot 3^{3}$

Étape 10.3.2.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (16) = 4 \cdot 27$

Étape 10.3.2.3

Multipliez $4$ par $27$ .

$f' (16) = 108$

Étape 10.3.2.4

La réponse finale est $108$ .

$108$

Étape 10.4

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 13$ , $x = 13$ est un minimum local.

$x = 13$ est un minimum local

Étape 11