Algèbre Exemples

$y = | x^{2} - 3 x + 1 |$ , $y = x - 1$

Étape 1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$| x^{2} - 3 x + 1 | = x - 1$

Étape 2

Résolvez $| x^{2} - 3 x + 1 | = x - 1$ pour $x$ .

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Étape 2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = \pm (x - 1)$

Étape 2.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x^{2} - 3 x + 1 = x - 1$

Étape 2.2.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x + 1 - x = - 1$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x + 1 = - 1$

Étape 2.2.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.2.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x + 1 + 1 = 0$

Étape 2.2.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Étape 2.2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = x - 1$

Étape 2.2.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1} + y = x - 1$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 2.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Étape 2.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.7.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 2.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.2.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.7.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Étape 2.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 2 + \sqrt{2}$

Étape 2.2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.8.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 2.2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.8.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.8.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.2.8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.8.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Étape 2.2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 2 - \sqrt{2}$

Étape 2.2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Étape 2.2.10

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x^{2} - 3 x + 1 = - (x - 1)$

Étape 2.2.11

Simplifiez $- (x - 1)$ .

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Étape 2.2.11.1

Réécrivez.

$x^{2} - 3 x + 1 = 0 + 0 - (x - 1)$

Étape 2.2.11.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$x^{2} - 3 x + 1 = - (x - 1)$

Étape 2.2.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 3 x + 1 = - x - - 1$

Étape 2.2.11.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = - x + 1$

Étape 2.2.12

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.12.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x + 1 + x = 1$

Étape 2.2.12.2

Additionnez $- 3 x$ et $x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 = 1$

Étape 2.2.13

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x + 1 - 1 = 0$

Étape 2.2.14

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

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Étape 2.2.14.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$x^{2} - 2 x + 0 = 0$

Étape 2.2.14.2

Additionnez $x^{2} - 2 x$ et $0$ .

$x^{2} - 2 x = 0$

Étape 2.2.15

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 x$ .

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Étape 2.2.15.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 2 x = 0$

Étape 2.2.15.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 0$

Étape 2.2.15.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$x (x - 2) = 0$

Étape 2.2.16

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0 + y = x - 1$

Étape 2.2.17

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.18

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.18.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.2.18.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.2.19

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 2.2.20

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}, 0, 2$

Étape 2.3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $| x^{2} - 3 x + 1 | = x - 1$ vrai.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2$

Étape 3

Évaluez $y$ quand $x = 2 + \sqrt{2}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $x$ par $2 + \sqrt{2}$ .

$y = (2 + \sqrt{2}) - 1$

Étape 3.2

Remplacez $x$ par $2 + \sqrt{2}$ dans $y = (2 + \sqrt{2}) - 1$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 + \sqrt{2} - 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (2 + \sqrt{2}) - 1$

Étape 3.2.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$y = 1 + \sqrt{2}$

Étape 4

Évaluez $y$ quand $x = 2$ .

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Étape 4.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$y = (2) - 1$

Étape 4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans $y = (2) - 1$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 - 1$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (2) - 1$

Étape 4.2.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$y = 1$

Étape 5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(2 + \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$

$(2, 1)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(2 + \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}), (2, 1)$

Forme de l’équation :

$x = 2 + \sqrt{2}, y = 1 + \sqrt{2}$

$x = 2, y = 1$

Étape 7