Algèbre Exemples

$(\frac{4}{13}, 8, \frac{4}{9})$ , $(\frac{6}{14}, \frac{7}{9}, 9)$

Étape 1

To find the distance between two 3d points, square the difference of the x, y, and z points. Then, sum them and take the square root.

$\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

Étape 2

Remplacez $x_{1}$ , $x_{2}$ , $y_{1}$ , $y_{2}$ , $z_{1}$ et $z_{2}$ par les valeurs correspondantes.

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{6}{14} - \frac{4}{13})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez l’expression $\sqrt{{(\frac{6}{14} - \frac{4}{13})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $14$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{2 (3)}{14} - \frac{4}{13})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 7} - \frac{4}{13})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 7} - \frac{4}{13})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3}{7} - \frac{4}{13})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{3}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{13}{13}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3}{7} \cdot \frac{13}{13} - \frac{4}{13})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.3

Pour écrire $- \frac{4}{13}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3}{7} \cdot \frac{13}{13} - \frac{4}{13} \cdot \frac{7}{7})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $91$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{3}{7}$ par $\frac{13}{13}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 13}{7 \cdot 13} - \frac{4}{13} \cdot \frac{7}{7})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $7$ par $13$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 13}{91} - \frac{4}{13} \cdot \frac{7}{7})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{4}{13}$ par $\frac{7}{7}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 13}{91} - \frac{4 \cdot 7}{13 \cdot 7})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.4.4

Multipliez $13$ par $7$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 13}{91} - \frac{4 \cdot 7}{91})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{3 \cdot 13 - 4 \cdot 7}{91})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $3$ par $13$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{39 - 4 \cdot 7}{91})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.6.2

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{39 - 28}{91})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.6.3

Soustrayez $28$ de $39$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{11}{91})}^{2} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{11}{91}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{11^{2}}{91^{2}} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.8

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{91^{2}} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.9

Élevez $91$ à la puissance $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(\frac{7}{9} - 8)}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.10

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(\frac{7}{9} - 8 \cdot \frac{9}{9})}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.11

Associez $- 8$ et $\frac{9}{9}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(\frac{7}{9} + \frac{- 8 \cdot 9}{9})}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(\frac{7 - 8 \cdot 9}{9})}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.13.1

Multipliez $- 8$ par $9$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(\frac{7 - 72}{9})}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.13.2

Soustrayez $72$ de $7$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(\frac{- 65}{9})}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(- \frac{65}{9})}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.15

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.15.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{65}{9}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(- 1)}^{2} {(\frac{65}{9})}^{2} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.15.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{65}{9}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + {(- 1)}^{2} (\frac{65^{2}}{9^{2}}) + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.16

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + 1 (\frac{65^{2}}{9^{2}}) + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.17

Multipliez $\frac{65^{2}}{9^{2}}$ par $1$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{65^{2}}{9^{2}} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.18

Élevez $65$ à la puissance $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{9^{2}} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.19

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + {(9 - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.20

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + {(9 \cdot \frac{9}{9} - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.21

Associez $9$ et $\frac{9}{9}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + {(\frac{9 \cdot 9}{9} - \frac{4}{9})}^{2}}$

Étape 3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + {(\frac{9 \cdot 9 - 4}{9})}^{2}}$

Étape 3.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.23.1

Multipliez $9$ par $9$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + {(\frac{81 - 4}{9})}^{2}}$

Étape 3.23.2

Soustrayez $4$ de $81$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + {(\frac{77}{9})}^{2}}$

Étape 3.24

Appliquez la règle de produit à $\frac{77}{9}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + \frac{77^{2}}{9^{2}}}$

Étape 3.25

Élevez $77$ à la puissance $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + \frac{5929}{9^{2}}}$

Étape 3.26

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} + \frac{4225}{81} + \frac{5929}{81}}$

Étape 3.27

Pour écrire $\frac{121}{8281}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{81}{81}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} \cdot \frac{81}{81} + \frac{4225}{81} + \frac{5929}{81}}$

Étape 3.28

Pour écrire $\frac{4225}{81}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8281}{8281}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121}{8281} \cdot \frac{81}{81} + \frac{4225}{81} \cdot \frac{8281}{8281} + \frac{5929}{81}}$

Étape 3.29

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $670761$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.29.1

Multipliez $\frac{121}{8281}$ par $\frac{81}{81}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121 \cdot 81}{8281 \cdot 81} + \frac{4225}{81} \cdot \frac{8281}{8281} + \frac{5929}{81}}$

Étape 3.29.2

Multipliez $8281$ par $81$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121 \cdot 81}{670761} + \frac{4225}{81} \cdot \frac{8281}{8281} + \frac{5929}{81}}$

Étape 3.29.3

Multipliez $\frac{4225}{81}$ par $\frac{8281}{8281}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121 \cdot 81}{670761} + \frac{4225 \cdot 8281}{81 \cdot 8281} + \frac{5929}{81}}$

Étape 3.29.4

Multipliez $81$ par $8281$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121 \cdot 81}{670761} + \frac{4225 \cdot 8281}{670761} + \frac{5929}{81}}$

Étape 3.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{121 \cdot 81 + 4225 \cdot 8281}{670761} + \frac{5929}{81}}$

Étape 3.31

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.31.1

Multipliez $121$ par $81$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{9801 + 4225 \cdot 8281}{670761} + \frac{5929}{81}}$

Étape 3.31.2

Multipliez $4225$ par $8281$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{9801 + 34987225}{670761} + \frac{5929}{81}}$

Étape 3.31.3

Additionnez $9801$ et $34987225$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{34997026}{670761} + \frac{5929}{81}}$

Étape 3.32

Pour écrire $\frac{5929}{81}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8281}{8281}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{34997026}{670761} + \frac{5929}{81} \cdot \frac{8281}{8281}}$

Étape 3.33

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $670761$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.33.1

Multipliez $\frac{5929}{81}$ par $\frac{8281}{8281}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{34997026}{670761} + \frac{5929 \cdot 8281}{81 \cdot 8281}}$

Étape 3.33.2

Multipliez $81$ par $8281$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{34997026}{670761} + \frac{5929 \cdot 8281}{670761}}$

Étape 3.34

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{34997026 + 5929 \cdot 8281}{670761}}$

Étape 3.35

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.35.1

Multipliez $5929$ par $8281$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{34997026 + 49098049}{670761}}$

Étape 3.35.2

Additionnez $34997026$ et $49098049$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{84095075}{670761}}$

Étape 3.36

Réécrivez $\sqrt{\frac{84095075}{670761}}$ comme $\frac{\sqrt{84095075}}{\sqrt{670761}}$ .

$D i s t a n c e = \frac{\sqrt{84095075}}{\sqrt{670761}}$

Étape 3.37

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.37.1

Réécrivez $84095075$ comme $5^{2} \cdot 3363803$ .

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Étape 3.37.1.1

Factorisez $25$ à partir de $84095075$ .

$D i s t a n c e = \frac{\sqrt{25 (3363803)}}{\sqrt{670761}}$

Étape 3.37.1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$D i s t a n c e = \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3363803}}{\sqrt{670761}}$

Étape 3.37.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$D i s t a n c e = \frac{5 \sqrt{3363803}}{\sqrt{670761}}$

Étape 3.38

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.38.1

Réécrivez $670761$ comme $819^{2}$ .

$D i s t a n c e = \frac{5 \sqrt{3363803}}{\sqrt{819^{2}}}$

Étape 3.38.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$D i s t a n c e = \frac{5 \sqrt{3363803}}{819}$

Étape 4

La distance entre $(\frac{4}{13}, 8, \frac{4}{9})$ et $(\frac{6}{14}, \frac{7}{9}, 9)$ est $\frac{5 \sqrt{3363803}}{819}$ .

$\frac{5 \sqrt{3363803}}{819} \approx 11.19699229$