Algèbre Exemples

$2 x^{2} + 2 x + y = 4 y$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 2 x + y - 4 y = 0$

Étape 1.2

Soustrayez $4 y$ de $y$ .

$2 x^{2} + 2 x - 3 y = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 2$ et $c = - 3 y$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 3 y$ .

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot (- 3 y)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \cdot 2 \cdot - 3 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot - 3 y)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 - 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 \cdot 2 \cdot - 3 y$ .

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) - 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cdot 2 \cdot - 3 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot - 3 y)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 1 \cdot 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 + 6 y))}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (1 + 6 y))}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $4 (1 + 6 y)$ comme $2^{2} (1^{2} + 6 y)$ .

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Étape 4.1.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 6 y}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{4}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 3 y$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot (- 3 y)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \cdot 2 \cdot - 3 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot - 3 y)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 - 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 \cdot 2 \cdot - 3 y$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) - 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cdot 2 \cdot - 3 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot - 3 y)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 1 \cdot 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Étape 5.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 + 6 y))}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (1 + 6 y))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $4 (1 + 6 y)$ comme $2^{2} (1^{2} + 6 y)$ .

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Étape 5.1.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 6 y}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

Étape 5.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{1 + 6 y}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 6 y})}{2}$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 6 y})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 6 y})}{2}$

Étape 5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 3 y$ .

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot (- 3 y)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \cdot 2 \cdot - 3 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot - 3 y)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 - 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 \cdot 2 \cdot - 3 y$ .

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) - 2 \cdot 2 \cdot (- 3 y))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cdot 2 \cdot - 3 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot - 3 y)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 1 \cdot 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.3

Multipliez $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Étape 6.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 2 \cdot (- 3 y)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 + 6 y))}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (1 + 6 y))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $4 (1 + 6 y)$ comme $2^{2} (1^{2} + 6 y)$ .

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Étape 6.1.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 6 y)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 6 y}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{4}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 6 y}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 - \sqrt{1 + 6 y}$ .

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Étape 6.5.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $6 y$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{6 y + 1}}{2}$

Étape 6.5.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{6 y + 1}}{2}$

Étape 6.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{6 y + 1}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{6 y + 1})}{2}$

Étape 6.5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\sqrt{6 y + 1})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{6 y + 1})}{2}$

Étape 6.5.5

Réécrivez $- 1 (1 + \sqrt{6 y + 1})$ comme $- (1 + \sqrt{6 y + 1})$ .

$x = \frac{- (1 + \sqrt{6 y + 1})}{2}$

Étape 6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + \sqrt{6 y + 1}}{2}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 6 y}}{2}$

$x = - \frac{1 + \sqrt{6 y + 1}}{2}$