Algèbre Exemples

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ comme une équation.

$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(\frac{1}{2})}^{y} = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{y} = x$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{y}) = \ln (x)$

Étape 3.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Développez $\ln ({(\frac{1}{2})}^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (\frac{1}{2}) = \ln (x)$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\ln (\frac{1}{2})$ comme $\ln (1) - \ln (2)$ .

$y (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (x)$

Étape 3.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$y (0 - \ln (2)) = \ln (x)$

Étape 3.3.4

Soustrayez $\ln (2)$ de $0$ .

$y (- \ln (2)) = \ln (x)$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y (- \ln (2))$ .

$- y \ln (2) = \ln (x)$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $- y \ln (2) = \ln (x)$ par $- \ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $- y \ln (2) = \ln (x)$ par $- \ln (2)$ .

$\frac{- y \ln (2)}{- \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Étape 3.5.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{2})}^{x})}{\ln (2)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{2^{x}})}{\ln (2)}$

Étape 5.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{2^{x}})}{\ln (2)}$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

Étape 5.3.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \log_{2} (x)}}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez $- \log_{2} (x)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (x^{- 1})}}$

Étape 5.3.4.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Étape 5.3.4.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 1 x$

Étape 5.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$