Algèbre Exemples

$\frac{x + 6}{x^{2} + 8 x + 15} + \frac{3 x}{x + 5} - \frac{x - 3}{x + 3}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $8$ .

$3, 5$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x}{x + 5} - \frac{x - 3}{x + 3}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez $\frac{3 x}{x + 5}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 3}{x + 3}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{3 x}{x + 5}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)} - \frac{x - 3}{x + 3}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{x - 3}{x + 3}$ par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)} - (\frac{x - 3}{x + 3} \cdot \frac{x + 5}{x + 5})$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{x - 3}{x + 3}$ par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)} - \frac{(x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 2.5

Réorganisez les facteurs de $(x + 5) (x + 3)$ .

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 5)} - \frac{(x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 6 + 3 x (x + 3) - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 6 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 3 - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 4.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x + 6 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 3 - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 4.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 3 x \cdot 3 - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 4.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x + (- x - - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x + (- x + 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 4.6

Développez $(- x + 3) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x (x + 5) + 3 (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 4.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 4.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 4.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - (x \cdot x) - x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 4.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x^{2} - x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 4.7.1.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x^{2} - 5 x + 3 x + 3 \cdot 5}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 4.7.1.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x^{2} - 5 x + 3 x + 15}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 4.7.2

Additionnez $- 5 x$ et $3 x$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x^{2} - 2 x + 15}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 5

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Additionnez $x$ et $9 x$ .

$\frac{10 x + 6 + 3 x^{2} - x^{2} - 2 x + 15}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 5.2

Soustrayez $2 x$ de $10 x$ .

$\frac{6 + 3 x^{2} - x^{2} + 8 x + 15}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 5.3

Additionnez $6$ et $15$ .

$\frac{3 x^{2} - x^{2} + 8 x + 21}{(x + 3) (x + 5)}$

Étape 5.4

Soustrayez $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x + 21}{(x + 3) (x + 5)}$