Algèbre Exemples

$\ln (e^{\ln (x)}) + \ln (e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (e^{\ln (x)} e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Étape 1.2

Réécrivez $\ln (e^{\ln (x)} e^{\ln (x^{2})})$ comme $\ln (e^{\ln (x)}) + \ln (e^{\ln (x^{2})})$ .

$\ln (e^{\ln (x)}) + \ln (e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Étape 1.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\ln (x)$ de l’exposant.

$\ln (x) \ln (e) + \ln (e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Étape 1.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (x) \cdot 1 + \ln (e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Étape 1.5

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) + \ln (e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Étape 1.6

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Étape 1.7

Réécrivez $\ln (x e^{\ln (x^{2})})$ comme $\ln (x) + \ln (e^{\ln (x^{2})})$ .

$\ln (x) + \ln (e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Étape 1.8

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\ln (x^{2})$ de l’exposant.

$\ln (x) + \ln (x^{2}) \ln (e) = 2 \ln (8)$

Étape 1.9

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (x) + \ln (x^{2}) \cdot 1 = 2 \ln (8)$

Étape 1.10

Multipliez $\ln (x^{2})$ par $1$ .

$\ln (x) + \ln (x^{2}) = 2 \ln (8)$

Étape 1.11

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 2 \ln (8)$

Étape 1.12

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.12.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.12.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 2 \ln (8)$

Étape 1.12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (x^{1 + 2}) = 2 \ln (8)$

Étape 1.12.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\ln (x^{3}) = 2 \ln (8)$

Étape 2

Simplifiez $2 \ln (8)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (x^{3}) = \ln (8^{2})$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{3} = 8^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $8^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 8^{2} = 0$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x^{3} - 1 \cdot 64 = 0$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$x^{3} - 64 = 0$

Étape 4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$x^{3} - 4^{3} = 0$

Étape 4.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

Étape 4.3.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Étape 4.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 4.6

Définissez $x^{2} + 4 x + 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $x^{2} + 4 x + 16$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3

Simplifiez

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Étape 4.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 4.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.6.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 4.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ vraie.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$