Algèbre Exemples

$x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$0$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 49 (0)$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 0$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 14 {(0)}^{2} + 49 (0)$

Étape 4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 14 \cdot 0 + 49 (0)$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 14$ par $0$ .

$0 + 0 + 49 (0)$

Étape 4.1.4

Multipliez $49$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 5

Comme $0$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 0$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 14 x^{2} + 49 x}{x + 0}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 14)$ .

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$
		$0$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$
		$0$
	$1$	$- 14$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 14)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(49)$ .

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$- 14$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$- 14$	$49$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(49)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 14$	$49$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$- 14$	$49$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 14$	$49$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + - 14 x + 49$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} - 14 x + 49$

Étape 7

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$(x + 0) + x^{2} - 14 x + 7^{2}$

Étape 7.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Étape 7.3

Réécrivez le polynôme.

$(x + 0) + x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}$

Étape 7.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 7$ .

$(x + 0) + {(x - 7)}^{2}$

$(x + 0) {(x - 7)}^{2}$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 14 x^{2} + 49 x = 0$

Étape 8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 14 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 14 x) + 49 x = 0$

Étape 8.1.3

Factorisez $x$ à partir de $49 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 14 x) + x \cdot 49 = 0$

Étape 8.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 14 x)$ .

$x (x^{2} - 14 x) + x \cdot 49 = 0$

Étape 8.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 14 x) + x \cdot 49$ .

$x (x^{2} - 14 x + 49) = 0$

Étape 8.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 8.2.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$x (x^{2} - 14 x + 7^{2}) = 0$

Étape 8.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Étape 8.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Étape 8.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 7$ .

$x {(x - 7)}^{2} = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x - 7)}^{2} = 0$

Étape 10

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 11

Définissez ${(x - 7)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez ${(x - 7)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

Étape 11.2

Résolvez ${(x - 7)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Définissez le $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 11.2.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x {(x - 7)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, 7$

Étape 13