Algèbre Exemples

$12 {(2 x + 1)}^{3} + 8 {(2 x + 1)}^{2} - 20 (2 x + 1)$

Étape 1

Factorisez $4 (2 x + 1)$ à partir de $12 {(2 x + 1)}^{3} + 8 {(2 x + 1)}^{2} - 20 (2 x + 1)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $4 (2 x + 1)$ à partir de $12 {(2 x + 1)}^{3}$ .

$4 (2 x + 1) (3 {(2 x + 1)}^{2}) + 8 {(2 x + 1)}^{2} - 20 (2 x + 1)$

Étape 1.2

Factorisez $4 (2 x + 1)$ à partir de $8 {(2 x + 1)}^{2}$ .

$4 (2 x + 1) (3 {(2 x + 1)}^{2}) + 4 (2 x + 1) (2 (2 x + 1)) - 20 (2 x + 1)$

Étape 1.3

Factorisez $4 (2 x + 1)$ à partir de $- 20 (2 x + 1)$ .

$4 (2 x + 1) (3 {(2 x + 1)}^{2}) + 4 (2 x + 1) (2 (2 x + 1)) + 4 (2 x + 1) (- 5)$

Étape 1.4

Factorisez $4 (2 x + 1)$ à partir de $4 (2 x + 1) (3 {(2 x + 1)}^{2}) + 4 (2 x + 1) (2 (2 x + 1))$ .

$4 (2 x + 1) (3 {(2 x + 1)}^{2} + 2 (2 x + 1)) + 4 (2 x + 1) (- 5)$

Étape 1.5

Factorisez $4 (2 x + 1)$ à partir de $4 (2 x + 1) (3 {(2 x + 1)}^{2} + 2 (2 x + 1)) + 4 (2 x + 1) (- 5)$ .

$4 (2 x + 1) (3 {(2 x + 1)}^{2} + 2 (2 x + 1) - 5)$

Étape 2

Laissez $u = 2 x + 1$ . Remplacez toutes les occurrences de $2 x + 1$ par $u$ .

$4 (2 x + 1) (3 u^{2} + 2 u - 5)$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 u$ .

$4 (2 x + 1) (3 u^{2} + 2 (u) - 5)$

Étape 3.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 3$ plus $5$

$4 (2 x + 1) (3 u^{2} + (- 3 + 5) u - 5)$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 (2 x + 1) (3 u^{2} - 3 u + 5 u - 5)$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$4 (2 x + 1) ((3 u^{2} - 3 u) + 5 u - 5)$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$4 (2 x + 1) (3 u (u - 1) + 5 (u - 1))$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 1$ .

$4 (2 x + 1) ((u - 1) (3 u + 5))$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$4 (2 x + 1) ((2 x + 1 - 1) (3 (2 x + 1) + 5))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez les termes opposés dans $2 x + 1 - 1$ .

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Étape 5.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$4 (2 x + 1) ((2 x + 0) (3 (2 x + 1) + 5))$

Étape 5.1.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$4 (2 x + 1) (2 x (3 (2 x + 1) + 5))$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (2 x + 1) (2 x (3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 5))$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 (2 x + 1) (2 x (6 x + 3 \cdot 1 + 5))$

Étape 5.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 (2 x + 1) (2 x (6 x + 3 + 5))$

Étape 5.3

Additionnez $3$ et $5$ .

$4 (2 x + 1) (2 x (6 x + 8))$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x + 8$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$4 (2 x + 1) (2 x (2 (3 x) + 8))$

Étape 6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$4 (2 x + 1) (2 x (2 (3 x) + 2 (4)))$

Étape 6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (4)$ .

$4 (2 x + 1) (2 x (2 (3 x + 4)))$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (2 x + 1) (2 x \cdot 2 (3 x + 4))$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (2 x + 1) (4 x (3 x + 4))$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (2 x + 1) \cdot 4 x (3 x + 4)$

Étape 8

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 (2 x + 1) x (3 x + 4)$