Algèbre Exemples

$x^{6} - 16 x^{2} = 4 x^{4} - 64$

Étape 1

Soustrayez $4 x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{6} - 16 x^{2} - 4 x^{4} = - 64$

Étape 2

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{6} - 16 x^{2} - 4 x^{4} + 64 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{6} - 4 x^{4} - 16 x^{2} + 64 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{6} - 4 x^{4}) - 16 x^{2} + 64 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{4} (x^{2} - 4) - 16 (x^{2} - 4) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x^{2} - 4$ .

$(x^{2} - 4) (x^{4} - 16) = 0$

Étape 3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{4} - 16) = 0$

Étape 3.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{4} - 16) = 0$

Étape 3.6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 16) = 0$

Étape 3.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) = 0$

Étape 3.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 4$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)) = 0$

Étape 3.9

Factorisez.

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Étape 3.9.1

Simplifiez

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Étape 3.9.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Étape 3.9.1.2

Factorisez.

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Étape 3.9.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Étape 3.9.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 3.9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 3.10

Associez les exposants.

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Étape 3.10.1

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4) (x - 2) = 0$

Étape 3.10.2

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4) (x - 2) = 0$

Étape 3.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) (x^{2} + 4) (x - 2) = 0$

Étape 3.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) (x^{2} + 4) (x - 2) = 0$

Étape 3.10.5

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

${(x + 2)}^{2} ((x - 2) (x - 2)) (x^{2} + 4) = 0$

Étape 3.10.6

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

${(x + 2)}^{2} ((x - 2) (x - 2)) (x^{2} + 4) = 0$

Étape 3.10.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{1 + 1} (x^{2} + 4) = 0$

Étape 3.10.8

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 4) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 5

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x^{2} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 7.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 7.2.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 7.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 7.2.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 7.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 7.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 7.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 7.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 7.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 4) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2, 2 i, - 2 i$

Étape 9