Algèbre Exemples

${(y - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{4}{9}$ des deux côtés de l’équation.

${(y - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2

Simplifiez ${(y - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez ${(y - \frac{2}{3})}^{2}$ comme $(y - \frac{2}{3}) (y - \frac{2}{3})$ .

$(y - \frac{2}{3}) (y - \frac{2}{3}) - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.2

Développez $(y - \frac{2}{3}) (y - \frac{2}{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (y - \frac{2}{3}) - \frac{2}{3} (y - \frac{2}{3}) - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y + y (- \frac{2}{3}) - \frac{2}{3} (y - \frac{2}{3}) - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y + y (- \frac{2}{3}) - \frac{2}{3} y - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3}) - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} + y (- \frac{2}{3}) - \frac{2}{3} y - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3}) - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.3.1.2

Associez $y$ et $\frac{2}{3}$ .

$y^{2} - \frac{y \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} y - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3}) - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$y^{2} - \frac{2 \cdot y}{3} - \frac{2}{3} y - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3}) - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.3.1.4

Associez $y$ et $\frac{2}{3}$ .

$y^{2} - \frac{2 y}{3} - \frac{y \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3}) - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.3.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$y^{2} - \frac{2 y}{3} - \frac{2 \cdot y}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3}) - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.3.1.6

Multipliez $- \frac{2}{3} (- \frac{2}{3})$ .

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Étape 1.2.1.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} - \frac{2 y}{3} - \frac{2 y}{3} + 1 (\frac{2}{3}) \frac{2}{3} - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.3.1.6.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$y^{2} - \frac{2 y}{3} - \frac{2 y}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.3.1.6.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

$y^{2} - \frac{2 y}{3} - \frac{2 y}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.3.1.6.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$y^{2} - \frac{2 y}{3} - \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3 \cdot 3} - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.3.1.6.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$y^{2} - \frac{2 y}{3} - \frac{2 y}{3} + \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.3.2

Soustrayez $\frac{2 y}{3}$ de $- \frac{2 y}{3}$ .

$y^{2} - 2 \frac{2 y}{3} + \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.4.1

Multipliez $- 2 \frac{2 y}{3}$ .

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Étape 1.2.1.4.1.1

Associez $- 2$ et $\frac{2 y}{3}$ .

$y^{2} + \frac{- 2 (2 y)}{3} + \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.4.1.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y^{2} + \frac{- 4 y}{3} + \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} - \frac{4 y}{3} + \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = 0$

Étape 1.2.2

Associez les termes opposés dans $y^{2} - \frac{4 y}{3} + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}$ .

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Étape 1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} - \frac{4 y}{3} + \frac{4 - 4}{9} = 0$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y^{2} - \frac{4 y}{3} + \frac{0}{9} = 0$

Étape 1.2.2.3

Divisez $0$ par $9$ .

$y^{2} - \frac{4 y}{3} + 0 = 0$

Étape 1.2.2.4

Additionnez $y^{2} - \frac{4 y}{3}$ et $0$ .

$y^{2} - \frac{4 y}{3} = 0$

Étape 2

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $3$ , puis simplifiez.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y^{2} + 3 (- \frac{4 y}{3}) = 0$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 y}{3}$ dans le numérateur.

$3 y^{2} + 3 (\frac{- 4 y}{3}) = 0$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 y^{2} + 3 (\frac{- 4 y}{3}) = 0$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 y^{2} - 4 y = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 4$ et $c = 0$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 0)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot 0}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 0$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot 0}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 0}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.3

Additionnez $16$ et $0$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{4 \pm 4}{2 \cdot 3}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{4 \pm 4}{6}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4}{6}$ .

$y = \frac{2 \pm 2}{3}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{4}{3}, 0$