Algèbre Exemples

$\sqrt{64 x} = x + 12$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{64 x} - x = 12$

Étape 1.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{64 x} - x - 12 = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\sqrt{8^{2} x} - x - 12 = 0$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$8 \sqrt{x} - x - 12 = 0$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - x - 12 = 0$

Étape 4

Réécrivez $x$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 12 = 0$

Étape 5

Laissez $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$8 u - u^{2} - 12 = 0$

Étape 6

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- u^{2} + 8 u - 12 = 0$

Étape 6.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 12 = 12$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8 u$ .

$- u^{2} + 8 (u) - 12 = 0$

Étape 6.2.2

Réécrivez $8$ comme $2$ plus $6$

$- u^{2} + (2 + 6) u - 12 = 0$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- u^{2} + 2 u + 6 u - 12 = 0$

Étape 6.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(- u^{2} + 2 u) + 6 u - 12 = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (- u + 2) - 6 (- u + 2) = 0$

Étape 6.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u + 2$ .

$(- u + 2) (u - 6) = 0$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(- x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 6) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$

Étape 9

Définissez $- x^{\frac{1}{2}} + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $- x^{\frac{1}{2}} + 2$ égal à $0$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $- x^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Étape 9.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 9.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 9.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.3.1.1

Simplifiez ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 9.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 9.2.3.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 9.2.3.1.1.3

Multipliez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 9.2.3.1.1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 9.2.3.1.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 9.2.3.1.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 9.2.3.1.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Étape 9.2.3.1.1.5

Simplifiez

$x = {(- 2)}^{2}$

Étape 9.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = 4$

Étape 10

Définissez $x^{\frac{1}{2}} - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x^{\frac{1}{2}} - 6$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{2}} = 6$

Étape 10.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Étape 10.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 10.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 10.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 10.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Étape 10.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Étape 10.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 6^{2}$

Étape 10.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 6^{2}$

Étape 10.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.3.2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = 36$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 6) = 0$ vraie.

$x = 4, 36$