Algèbre Exemples

$x^{- \frac{2}{3}} + x^{- \frac{1}{3}} - 20 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{- \frac{2}{3}}$ comme ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2}$ .

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2} + x^{- \frac{1}{3}} - 20 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{- \frac{1}{3}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{- \frac{1}{3}}$ par $u$ .

$u^{2} + u - 20 = 0$

Étape 3

Factorisez $u^{2} + u - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $1$ .

$- 4, 5$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u + 5) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$(x^{- \frac{1}{3}} - 4) (x^{- \frac{1}{3}} + 5) = 0$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 4) (x^{- \frac{1}{3}} + 5) = 0$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 4) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 5) = 0$

Étape 6

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 5) = 0$

Étape 7

Associez $- 4$ et $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 5) = 0$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 5) = 0$

Étape 9

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) = 0$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

$\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 12

Définissez $\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ égal à $0$ .

$\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 12.2

Résolvez $\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 - 4 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Étape 12.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 12.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Étape 12.2.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(- 4 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 12.2.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 12.2.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.3.1.1

Simplifiez ${(- 4 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 12.2.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 4 x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 4)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 12.2.2.3.1.1.2

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$- 64 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 12.2.2.3.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 12.2.2.3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 12.2.2.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.2.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 12.2.2.3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 64 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Étape 12.2.2.3.1.1.4

Simplifiez

$- 64 x = {(- 1)}^{3}$

Étape 12.2.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.2.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 64 x = - 1$

Étape 12.2.2.4

Divisez chaque terme dans $- 64 x = - 1$ par $- 64$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.4.1

Divisez chaque terme dans $- 64 x = - 1$ par $- 64$ .

$\frac{- 64 x}{- 64} = \frac{- 1}{- 64}$

Étape 12.2.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 64$ .

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Étape 12.2.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 64 x}{- 64} = \frac{- 1}{- 64}$

Étape 12.2.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 64}$

Étape 12.2.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.2.4.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{64}$

Étape 13

Définissez $\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ égal à $0$ .

$\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 13.2

Résolvez $\frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 + 5 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Étape 13.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 13.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Étape 13.2.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 13.2.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 13.2.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.2.3.1.1

Simplifiez ${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 13.2.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 x^{\frac{1}{3}}$ .

$5^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 13.2.2.3.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$125 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 13.2.2.3.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 13.2.2.3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 13.2.2.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.2.2.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 13.2.2.3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$125 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Étape 13.2.2.3.1.1.4

Simplifiez

$125 x = {(- 1)}^{3}$

Étape 13.2.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.2.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$125 x = - 1$

Étape 13.2.2.4

Divisez chaque terme dans $125 x = - 1$ par $125$ et simplifiez.

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Étape 13.2.2.4.1

Divisez chaque terme dans $125 x = - 1$ par $125$ .

$\frac{125 x}{125} = \frac{- 1}{125}$

Étape 13.2.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $125$ .

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Étape 13.2.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{125 x}{125} = \frac{- 1}{125}$

Étape 13.2.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{125}$

Étape 13.2.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.2.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{125}$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\frac{1 - 4 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 + 5 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{64}, - \frac{1}{125}$