Algèbre Exemples

$x^{\frac{3}{4}} = 729$

Étape 1

Soustrayez $729$ des deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{3}{4}} - 729 = 0$

Étape 2

Réécrivez $x^{\frac{3}{4}}$ comme ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{3} - 729 = 0$

Étape 3

Réécrivez $729$ comme $9^{3}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{3} - 9^{3} = 0$

Étape 4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x^{\frac{1}{4}}$ et $b = 9$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) ({(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) (x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) (x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Étape 5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) (x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Étape 5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) (x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Étape 5.2

Déplacez $9$ à gauche de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) (x^{\frac{1}{2}} + 9 x^{\frac{1}{4}} + 9^{2}) = 0$

Étape 5.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) (x^{\frac{1}{2}} + 9 x^{\frac{1}{4}} + 81) = 0$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{\frac{1}{4}} - 9) (9 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 81) = 0$

Étape 6

Simplifiez $(x^{\frac{1}{4}} - 9) (9 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 81)$ .

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Étape 6.1

Développez $(x^{\frac{1}{4}} - 9) (9 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 81)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{\frac{1}{4}} (9 x^{\frac{1}{4}}) + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{4}}$ par $x^{\frac{1}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{4}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}) + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 x^{\frac{1 + 1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 x^{\frac{2}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.2.1.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$9 x^{\frac{2 (1)}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$9 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $x^{\frac{1}{4}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.3.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.1.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 2}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 81 - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.4

Déplacez $81$ à gauche de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 81 \cdot x^{\frac{1}{4}} - 9 (9 x^{\frac{1}{4}}) - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $9$ par $- 9$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 81 x^{\frac{1}{4}} - 81 x^{\frac{1}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 81 = 0$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $- 9$ par $81$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 81 x^{\frac{1}{4}} - 81 x^{\frac{1}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} - 729 = 0$

Étape 6.2.2

Associez les termes opposés dans $9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 81 x^{\frac{1}{4}} - 81 x^{\frac{1}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} - 729$ .

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $81 x^{\frac{1}{4}}$ de $81 x^{\frac{1}{4}}$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 0 - 9 x^{\frac{1}{2}} - 729 = 0$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}}$ et $0$ .

$9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} - 729 = 0$

Étape 6.2.2.3

Soustrayez $9 x^{\frac{1}{2}}$ de $9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{4}} + 0 - 729 = 0$

Étape 6.2.2.4

Additionnez $x^{\frac{3}{4}}$ et $0$ .

$x^{\frac{3}{4}} - 729 = 0$

Étape 7

Ajoutez $729$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{3}{4}} = 729$

Étape 8

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{4}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 729^{\frac{4}{3}}$

Étape 9

Simplifiez l’exposant.

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Étape 9.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 9.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 9.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 729^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 729^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 729^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 729^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 729^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.1.1.2

Simplifiez

$x = 729^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

Simplifiez $729^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 9.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.1.1.1

Réécrivez $729$ comme $9^{3}$ .

$x = {(9^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 9^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 9.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = 9^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 9.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = 9^{4}$

Étape 9.2.1.3

Élevez $9$ à la puissance $4$ .

$x = 6561$