Algèbre Exemples

$x^{- 2} + 10 x^{- 1} + 16 = 0$

Étape 1

Factorisez $x^{- 2} + 10 x^{- 1} + 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $16$ et dont la somme est $10$ .

$2, 8$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{- 1} + 2) (x^{- 1} + 8) = 0$

Étape 2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x} + 2) (x^{- 1} + 8) = 0$

Étape 3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x} + 2) (\frac{1}{x} + 8) = 0$

Étape 4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} + \frac{2 x}{x}) (\frac{1}{x} + 8) = 0$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 2 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} + 8) = 0$

Étape 6

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 + 2 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{8 x}{x}) = 0$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 2 x}{x} \cdot \frac{1 + 8 x}{x} = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\frac{1 + 2 x}{x} = 0$

$\frac{1 + 8 x}{x} = 0$

Étape 9

Définissez $\frac{1 + 2 x}{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $\frac{1 + 2 x}{x}$ égal à $0$ .

$\frac{1 + 2 x}{x} = 0$

Étape 9.2

Résolvez $\frac{1 + 2 x}{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 + 2 x = 0$

Étape 9.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 9.2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 9.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 9.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 9.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 10

Définissez $\frac{1 + 8 x}{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $\frac{1 + 8 x}{x}$ égal à $0$ .

$\frac{1 + 8 x}{x} = 0$

Étape 10.2

Résolvez $\frac{1 + 8 x}{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 + 8 x = 0$

Étape 10.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$8 x = - 1$

Étape 10.2.2.2

Divisez chaque terme dans $8 x = - 1$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $8 x = - 1$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Étape 10.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 10.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Étape 10.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Étape 10.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{8}$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\frac{1 + 2 x}{x} \cdot \frac{1 + 8 x}{x} = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, - \frac{1}{8}$