Algèbre Exemples

$x^{- 2} - 7 x^{- 1} + 10 = 0$

Étape 1

Factorisez $x^{- 2} - 7 x^{- 1} + 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 5, - 2$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{- 1} - 5) (x^{- 1} - 2) = 0$

Étape 2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x} - 5) (x^{- 1} - 2) = 0$

Étape 3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x} - 5) (\frac{1}{x} - 2) = 0$

Étape 4

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{x} - 2) = 0$

Étape 5

Associez $- 5$ et $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} + \frac{- 5 x}{x}) (\frac{1}{x} - 2) = 0$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 5 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} - 2) = 0$

Étape 7

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 5 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x}) = 0$

Étape 8

Associez $- 2$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 5 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}) = 0$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 5 x}{x} \cdot \frac{1 - 2 x}{x} = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\frac{1 - 5 x}{x} = 0$

$\frac{1 - 2 x}{x} = 0$

Étape 11

Définissez $\frac{1 - 5 x}{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $\frac{1 - 5 x}{x}$ égal à $0$ .

$\frac{1 - 5 x}{x} = 0$

Étape 11.2

Résolvez $\frac{1 - 5 x}{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 - 5 x = 0$

Étape 11.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 x = - 1$

Étape 11.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 1$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 1$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Étape 11.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 11.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Étape 11.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Étape 11.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{5}$

Étape 12

Définissez $\frac{1 - 2 x}{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $\frac{1 - 2 x}{x}$ égal à $0$ .

$\frac{1 - 2 x}{x} = 0$

Étape 12.2

Résolvez $\frac{1 - 2 x}{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 - 2 x = 0$

Étape 12.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 12.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 12.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 12.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 12.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 12.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 12.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\frac{1 - 5 x}{x} \cdot \frac{1 - 2 x}{x} = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{5}, \frac{1}{2}$