Algèbre Exemples

$11 x^{4} - 37 x^{2} + 26 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$11 {(x^{2})}^{2} - 37 x^{2} + 26 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$11 u^{2} - 37 u + 26 = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 11 \cdot 26 = 286$ et dont la somme est $b = - 37$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 37$ à partir de $- 37 u$ .

$11 u^{2} - 37 u + 26 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 37$ comme $- 11$ plus $- 26$

$11 u^{2} + (- 11 - 26) u + 26 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$11 u^{2} - 11 u - 26 u + 26 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(11 u^{2} - 11 u) - 26 u + 26 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$11 u (u - 1) - 26 (u - 1) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 1$ .

$(u - 1) (11 u - 26) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (11 x^{2} - 26) = 0$

Étape 5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x^{2} - 1^{2}) (11 x^{2} - 26) = 0$

Étape 6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (11 x^{2} - 26) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$11 x^{2} - 26 = 0$

Étape 8

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 9

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 10

Définissez $11 x^{2} - 26$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $11 x^{2} - 26$ égal à $0$ .

$11 x^{2} - 26 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $11 x^{2} - 26 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Ajoutez $26$ aux deux côtés de l’équation.

$11 x^{2} = 26$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $11 x^{2} = 26$ par $11$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $11 x^{2} = 26$ par $11$ .

$\frac{11 x^{2}}{11} = \frac{26}{11}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 x^{2}}{11} = \frac{26}{11}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{26}{11}$

Étape 10.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{26}{11}}$

Étape 10.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{26}{11}}$ .

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Étape 10.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{26}{11}}$ comme $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}}$

Étape 10.2.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}}$ par $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Étape 10.2.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{11}}$ par $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Étape 10.2.4.3.2

Élevez $\sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}$

Étape 10.2.4.3.3

Élevez $\sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}$

Étape 10.2.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Étape 10.2.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Étape 10.2.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{11}}^{2}$ comme $11$ .

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Étape 10.2.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{11}$ comme $11^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.2.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.2.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.2.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.2.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11^{1}}$

Étape 10.2.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{11}}{11}$

Étape 10.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{26 \cdot 11}}{11}$

Étape 10.2.4.4.2

Multipliez $26$ par $11$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{286}}{11}$

Étape 10.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{286}}{11}$

Étape 10.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{286}}{11}$

Étape 10.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{286}}{11}, - \frac{\sqrt{286}}{11}$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) (11 x^{2} - 26) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1, \frac{\sqrt{286}}{11}, - \frac{\sqrt{286}}{11}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 1, 1, \frac{\sqrt{286}}{11}, - \frac{\sqrt{286}}{11}$

Forme décimale :

$x = - 1, 1, 1.53741222 \dots, - 1.53741222 \dots$