Algèbre Exemples

$2 = \frac{11}{2 x - 1} + \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{11}{2 x - 1}$ des deux côtés de l’équation.

$2 - \frac{11}{2 x - 1} = \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Soustrayez $\frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$2 - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2

Simplifiez $2 - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

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Étape 2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2}{1} - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{1} \cdot \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11}{2 x - 1} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{11}{2 x - 1}$ par $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - (\frac{11}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}) - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{11}{2 x - 1}$ par $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{(2 x - 1) (2 x - 1)} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.6

Élevez $2 x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1)} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.7

Élevez $2 x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1}} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{1 + 1}} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{11 (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 {(2 x - 1)}^{2} - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Réécrivez ${(2 x - 1)}^{2}$ comme $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{2 ((2 x - 1) (2 x - 1)) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.2

Développez $(2 x - 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 4 x + 1) - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 1 - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 11 (2 x - 1) + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 11 (2 x) - 11 \cdot - 1 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.7

Multipliez $2$ par $- 11$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 22 x - 11 \cdot - 1 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 11$ par $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 22 x + 11 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.4

Soustrayez $22 x$ de $- 8 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 30 x + 2 + 11 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.5

Additionnez $2$ et $11$ .

$\frac{8 x^{2} - 30 x + 13 + 5}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.6

Additionnez $13$ et $5$ .

$\frac{8 x^{2} - 30 x + 18}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x^{2} - 30 x + 18$ .

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Étape 2.7.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x^{2}$ .

$\frac{2 (4 x^{2}) - 30 x + 18}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 30 x$ .

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 15 x) + 18}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.1.3

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 15 x) + 2 (9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 x^{2}) + 2 (- 15 x)$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 15 x) + 2 (9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 x^{2} - 15 x) + 2 (9)$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 15 x + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.7.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ et dont la somme est $b = - 15$ .

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Étape 2.7.2.1.1

Factorisez $- 15$ à partir de $- 15 x$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 15 (x) + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.2.1.2

Réécrivez $- 15$ comme $- 3$ plus $- 12$

$\frac{2 (4 x^{2} + (- 3 - 12) x + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (4 x^{2} - 3 x - 12 x + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.7.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 ((4 x^{2} - 3 x) - 12 x + 9)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 (x (4 x - 3) - 3 (4 x - 3))}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x - 3$ .

$\frac{2 ((4 x - 3) (x - 3))}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

$\frac{2 (4 x - 3) (x - 3)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (4 x - 3) (x - 3) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4.2

Définissez $4 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $4 x - 3$ égal à $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Étape 4.2.2

Résolvez $4 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 3$

Étape 4.2.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 3$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 4.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 4.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Étape 4.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (4 x - 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{3}{4}, 3$