Algèbre Exemples

$1 = \frac{8}{a - 3} - \frac{48}{a^{2} - 9}$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{8}{a - 3}$ des deux côtés de l’équation.

$1 - \frac{8}{a - 3} = - \frac{48}{a^{2} - 9}$

Étape 1.2

Ajoutez $\frac{48}{a^{2} - 9}$ aux deux côtés de l’équation.

$1 - \frac{8}{a - 3} + \frac{48}{a^{2} - 9} = 0$

Étape 2

Simplifiez $1 - \frac{8}{a - 3} + \frac{48}{a^{2} - 9}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$1 - \frac{8}{a - 3} + \frac{48}{a^{2} - 3^{2}} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 3$ .

$1 - \frac{8}{a - 3} + \frac{48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{a - 3}{a - 3} - \frac{8}{a - 3} + \frac{48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a - 3 - 8}{a - 3} + \frac{48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.4

Soustrayez $8$ de $- 3$ .

$\frac{a - 11}{a - 3} + \frac{48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.5

Pour écrire $\frac{a - 11}{a - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{a - 11}{a - 3} \cdot \frac{a + 3}{a + 3} + \frac{48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a - 3) (a + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{a - 11}{a - 3}$ par $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{(a - 11) (a + 3)}{(a - 3) (a + 3)} + \frac{48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.6.2

Réorganisez les facteurs de $(a - 3) (a + 3)$ .

$\frac{(a - 11) (a + 3)}{(a + 3) (a - 3)} + \frac{48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(a - 11) (a + 3) + 48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Développez $(a - 11) (a + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (a + 3) - 11 (a + 3) + 48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 3 - 11 (a + 3) + 48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 3 - 11 a - 11 \cdot 3 + 48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.8.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 3 - 11 a - 11 \cdot 3 + 48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.8.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $a$ .

$\frac{a^{2} + 3 \cdot a - 11 a - 11 \cdot 3 + 48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.8.2.1.3

Multipliez $- 11$ par $3$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 11 a - 33 + 48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.8.2.2

Soustrayez $11 a$ de $3 a$ .

$\frac{a^{2} - 8 a - 33 + 48}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.8.3

Additionnez $- 33$ et $48$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.8.4

Factorisez $a^{2} - 8 a + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.8.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 2.8.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a - 5) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun de $a - 3$ .

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Étape 2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 5) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3)} = 0$

Étape 2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 5}{a + 3} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$a - 5 = 0$

Étape 4

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$a = 5$