Algèbre Exemples

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} - \frac{1}{x^{2} - 9} = 0$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} - \frac{1}{x^{2} - 3^{2}} = 0$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2

Pour écrire $\frac{4}{x^{2} - 3 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 3 x}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 3 x} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 3 x} = 0$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x^{2} - 3 x) (x + 3) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{4}{x^{2} - 3 x}$ par $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{4 ((x + 3) (x - 3))}{(x^{2} - 3 x) ((x + 3) (x - 3))} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 3 x} = 0$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ par $\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 3 x}$ .

$\frac{4 ((x + 3) (x - 3))}{(x^{2} - 3 x) ((x + 3) (x - 3))} - \frac{x^{2} - 3 x}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} - 3 x) ((x + 3) (x - 3))$ .

$\frac{4 ((x + 3) (x - 3))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} - \frac{x^{2} - 3 x}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 ((x + 3) (x - 3)) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6

Réécrivez $\frac{4 ((x + 3) (x - 3)) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)}$ en forme factorisée.

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Étape 6.1

Développez $(x + 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (x (x - 3) + 3 (x - 3)) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Étape 6.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 3$ et $3 x$ .

$\frac{4 (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$\frac{4 (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{4 (x \cdot x + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3 \cdot - 3) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.3.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{4 (x^{2} - 9) - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 9 - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.5

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$\frac{4 x^{2} - 36 - (x^{2} - 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} - 36 - x^{2} - (- 3 x)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.7

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 36 - x^{2} + 3 x}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.8

Soustrayez $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 36 + 3 x}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 x^{2} + 3 x - 36}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.10

Réécrivez $3 x^{2} + 3 x - 36$ en forme factorisée.

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Étape 6.10.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 x - 36$ .

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Étape 6.10.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 x - 36}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.10.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (x) - 36}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.10.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 36$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 12}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.10.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 x$ .

$\frac{3 (x^{2} + x) + 3 \cdot - 12}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.10.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} + x) + 3 \cdot - 12$ .

$\frac{3 (x^{2} + x - 12)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.10.2

Factorisez.

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Étape 6.10.2.1

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.10.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 6.10.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 ((x - 3) (x + 4))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.10.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3 x)} = 0$

Étape 6.11

Factorisez.

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Étape 6.11.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x$ .

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Étape 6.11.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) (x \cdot x - 3 x)} = 0$

Étape 6.11.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) (x \cdot x + x \cdot - 3)} = 0$

Étape 6.11.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) (x (x - 3))} = 0$

Étape 6.11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3) x (x - 3)} = 0$

Étape 6.12

Associez les exposants.

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Étape 6.12.1

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x ((x - 3) (x - 3))} = 0$

Étape 6.12.2

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x ((x - 3) (x - 3))} = 0$

Étape 6.12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x {(x - 3)}^{1 + 1}} = 0$

Étape 6.12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x {(x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 6.13

Réduisez l’expression $\frac{3 (x - 3) (x + 4)}{(x + 3) x {(x - 3)}^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.13.1

Factorisez $x - 3$ à partir de $3 (x - 3) (x + 4)$ .

$\frac{(x - 3) (3 (x + 4))}{(x + 3) x {(x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 6.13.2

Factorisez $x - 3$ à partir de $(x + 3) x {(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (3 (x + 4))}{(x - 3) ((x + 3) x (x - 3))} = 0$

Étape 6.13.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 3) (3 (x + 4))}{(x - 3) ((x + 3) x (x - 3))} = 0$

Étape 6.13.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (x + 4)}{(x + 3) x (x - 3)} = 0$

Étape 7

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 (x + 4) = 0$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $3 (x + 4) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 8.1.1

Divisez chaque terme dans $3 (x + 4) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 (x + 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 8.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x + 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 8.1.2.1.2

Divisez $x + 4$ par $1$ .

$x + 4 = \frac{0}{3}$

Étape 8.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x + 4 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$