Algèbre Exemples

$\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x - 1}{x - 2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{1}{x + 2}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - (\frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{1}{x + 2}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{x - 1}{x - 2}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - (\frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}) = 0$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{x - 1}{x - 2}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = 0$

Étape 2.2.5

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - (x - 2) - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - x - - 2 - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{4 - x + 2 - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - x + 2 + (- x - - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4 - x + 2 + (- x + 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.5

Développez $(- x + 1) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - x + 2 - x (x + 2) + 1 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - x + 2 - x \cdot x - x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - x + 2 - x \cdot x - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.6.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.6.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.6.2

Additionnez $- 2 x$ et $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.5

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{- x + 6 - x^{2} - x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.6

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{- 2 x + 6 - x^{2} + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7

Additionnez $6$ et $2$ .

$\frac{- 2 x - x^{2} + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$\frac{- 2 u - u^{2} + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.8.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- u^{2} - 2 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 2.8.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 u$ .

$\frac{- u^{2} - 2 (u) + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.2.2.2

Réécrivez $- 2$ comme $2$ plus $- 4$

$\frac{- u^{2} + (2 - 4) u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- u^{2} + 2 u - 4 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.8.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- u^{2} + 2 u) - 4 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{u (- u + 2) + 4 (- u + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u + 2$ .

$\frac{(- u + 2) (u + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$\frac{(- x + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun à $- x + 2$ et $x - 2$ .

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Étape 2.9.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.2

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.4

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (x + 4)}{x + 2} = 0$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 4}{x + 2} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x + 4 = 0$

Étape 4

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$