Algèbre Exemples

$\frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x} = 3$

Étape 1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x} - 3 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x} - 3$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{2 x}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} - 3 = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 x}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - 3 = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{2 x}{x - 3}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x \cdot x}{(x - 3) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - 3 = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 x \cdot x}{(x - 3) x} + \frac{x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{x (x - 3)} + \frac{x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x \cdot x + x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Étape 2.5.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 2$ plus $3$

$\frac{2 x^{2} + (- 2 + 3) x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Étape 2.5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Étape 2.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} - 2 x) + 3 x - 3}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Étape 2.5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (x - 1) + 3 (x - 1)}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Étape 2.5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + 3)}{x (x - 3)} - 3 = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x (x - 3)}{x (x - 3)}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + 3)}{x (x - 3)} - 3 \cdot \frac{x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.7

Associez $- 3$ et $\frac{x (x - 3)}{x (x - 3)}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + 3)}{x (x - 3)} + \frac{- 3 (x (x - 3))}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 1) (2 x + 3) - 3 (x (x - 3))}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Développez $(x - 1) (2 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x + 3) - 1 (2 x + 3) - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 3 - 1 (2 x + 3) - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.2.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2 x - 1 \cdot 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2 x - 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.2.2

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x (x - 3)}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 3}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 3}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 3}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.5

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 3 - 3 x^{2} + 9 x}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.6

Soustrayez $3 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + x - 3 + 9 x}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.9.7

Additionnez $x$ et $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - 3}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 10 x - 3}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $10 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 10 x) - 3}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 10 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 10 x) - 3}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.13

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- (x^{2} - 10 x) - 1 (3)}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 10 x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x^{2} - 10 x + 3)}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.15

Réécrivez $- (x^{2} - 10 x + 3)$ comme $- 1 (x^{2} - 10 x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 10 x + 3)}{x (x - 3)} = 0$

Étape 2.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - 10 x + 3}{x (x - 3)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 10$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3

Soustrayez $12$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $88$ comme $2^{2} \cdot 22$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $88$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{22}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3

Soustrayez $12$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4

Réécrivez $88$ comme $2^{2} \cdot 22$ .

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Étape 4.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $88$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$

Étape 4.4.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{22}$

Étape 4.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 5 + \sqrt{22}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Soustrayez $12$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $88$ comme $2^{2} \cdot 22$ .

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Étape 4.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $88$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$

Étape 4.5.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{22}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{22}$

Étape 4.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 5 - \sqrt{22}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 5 + \sqrt{22}, 5 - \sqrt{22}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 5 + \sqrt{22}, 5 - \sqrt{22}$

Forme décimale :

$x = 9.69041575 \dots, 0.30958424 \dots$