Algèbre Exemples

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} = \frac{- 8}{x^{2} - 16}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{- 8}{x^{2} - 16}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - \frac{- 8}{x^{2} - 16} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - \frac{- 8}{x^{2} - 16}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - \frac{- 8}{x^{2} - 4^{2}} = 0$

Étape 2.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - \frac{- 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - - \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $- - \frac{8}{(x + 4) (x - 4)}$ .

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Étape 2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + 1 \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $\frac{8}{(x + 4) (x - 4)}$ par $1$ .

$\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{x + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{x}{x - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{x}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 4) (x - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1}{x + 4}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x - 4}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{x}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{x}{x - 4}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x - 4}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{x - 4}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 4 + x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 4 + x (x + 4) + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 4 + x \cdot x + x \cdot 4 + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x - 4 + x^{2} + x \cdot 4 + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.7.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{x - 4 + x^{2} + 4 x + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.8

Additionnez $x$ et $4 x$ .

$\frac{5 x - 4 + x^{2} + 8}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.9

Additionnez $- 4$ et $8$ .

$\frac{5 x + x^{2} + 4}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$\frac{5 u + u^{2} + 4}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.10.2

Factorisez $5 u + u^{2} + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.10.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $5$ .

$1, 4$

Étape 2.10.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(u + 1) (u + 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.10.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.11

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 2.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Étape 2.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x - 4} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x + 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$