Algèbre Exemples

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x} + 1 = 0$

Étape 1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{4}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{4}{x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4 x}{x^{1 + 1}} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 x + 1}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- 4 x + 1}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} = 0$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 x + 1 + x^{2}}{x^{2}} = 0$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Étape 8

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 9.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.3.1.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.3.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 9.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Étape 9.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 9.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 9.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 9.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Étape 9.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 2 + \sqrt{3}$

Étape 9.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 9.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 9.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 9.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Étape 9.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 2 - \sqrt{3}$

Étape 9.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Forme décimale :

$x = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$