Algèbre Exemples

$\frac{d}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3 d}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{1}{3 d}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3 d} = 0$

Étape 2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d}{3} - \frac{1}{3 d} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 3

Pour écrire $\frac{d}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{d}{d}$ .

$\frac{d}{3} \cdot \frac{d}{d} - \frac{1}{3 d} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 4

Multipliez $\frac{d}{3}$ par $\frac{d}{d}$ .

$\frac{d \cdot d}{3 d} - \frac{1}{3 d} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d \cdot d - 1}{3 d} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d^{1 + 1} - 1}{3 d} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 6.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d^{2} - 1}{3 d} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 6.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d^{2} - 1^{2}}{3 d} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 6.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = d$ et $b = 1$ .

$\frac{(d + 1) (d - 1)}{3 d} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 7

Pour écrire $\frac{(d + 1) (d - 1)}{3 d}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(d + 1) (d - 1)}{3 d} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 8

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 d}{3 d}$ .

$\frac{(d + 1) (d - 1)}{3 d} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 d}{3 d} = 0$

Étape 9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6 d$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{(d + 1) (d - 1)}{3 d}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(d + 1) (d - 1) \cdot 2}{3 d \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 d}{3 d} = 0$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{(d + 1) (d - 1) \cdot 2}{6 d} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 d}{3 d} = 0$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3 d}{3 d}$ .

$\frac{(d + 1) (d - 1) \cdot 2}{6 d} + \frac{3 d}{2 (3 d)} = 0$

Étape 9.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{(d + 1) (d - 1) \cdot 2}{6 d} + \frac{3 d}{6 d} = 0$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(d + 1) (d - 1) \cdot 2 + 3 d}{6 d} = 0$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Développez $(d + 1) (d - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(d (d - 1) + 1 (d - 1)) \cdot 2 + 3 d}{6 d} = 0$

Étape 11.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(d \cdot d + d \cdot - 1 + 1 (d - 1)) \cdot 2 + 3 d}{6 d} = 0$

Étape 11.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(d \cdot d + d \cdot - 1 + 1 d + 1 \cdot - 1) \cdot 2 + 3 d}{6 d} = 0$

Étape 11.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $d$ par $d$ .

$\frac{(d^{2} + d \cdot - 1 + 1 d + 1 \cdot - 1) \cdot 2 + 3 d}{6 d} = 0$

Étape 11.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $d$ .

$\frac{(d^{2} - 1 d + 1 d + 1 \cdot - 1) \cdot 2 + 3 d}{6 d} = 0$

Étape 11.2.1.3

Réécrivez $- 1 d$ comme $- d$ .

$\frac{(d^{2} - d + 1 d + 1 \cdot - 1) \cdot 2 + 3 d}{6 d} = 0$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $d$ par $1$ .

$\frac{(d^{2} - d + d + 1 \cdot - 1) \cdot 2 + 3 d}{6 d} = 0$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(d^{2} - d + d - 1) \cdot 2 + 3 d}{6 d} = 0$

Étape 11.2.2

Additionnez $- d$ et $d$ .

$\frac{(d^{2} + 0 - 1) \cdot 2 + 3 d}{6 d} = 0$

Étape 11.2.3

Additionnez $d^{2}$ et $0$ .

$\frac{(d^{2} - 1) \cdot 2 + 3 d}{6 d} = 0$

Étape 11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 + 3 d}{6 d} = 0$

Étape 11.4

Déplacez $2$ à gauche de $d^{2}$ .

$\frac{2 \cdot d^{2} - 1 \cdot 2 + 3 d}{6 d} = 0$

Étape 11.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 d^{2} - 2 + 3 d}{6 d} = 0$

Étape 11.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 d^{2} + 3 d - 2}{6 d} = 0$

Étape 11.7

Factorisez par regroupement.

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Étape 11.7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 11.7.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 d$ .

$\frac{2 d^{2} + 3 (d) - 2}{6 d} = 0$

Étape 11.7.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$\frac{2 d^{2} + (- 1 + 4) d - 2}{6 d} = 0$

Étape 11.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 d^{2} - 1 d + 4 d - 2}{6 d} = 0$

Étape 11.7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 11.7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 d^{2} - 1 d) + 4 d - 2}{6 d} = 0$

Étape 11.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d (2 d - 1) + 2 (2 d - 1)}{6 d} = 0$

Étape 11.7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 d - 1$ .

$\frac{(2 d - 1) (d + 2)}{6 d} = 0$

Étape 12

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(2 d - 1) (d + 2) = 0$

Étape 13

Résolvez l’équation pour $d$ .

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Étape 13.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 d - 1 = 0$

$d + 2 = 0$

Étape 13.2

Définissez $2 d - 1$ égal à $0$ et résolvez $d$ .

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Étape 13.2.1

Définissez $2 d - 1$ égal à $0$ .

$2 d - 1 = 0$

Étape 13.2.2

Résolvez $2 d - 1 = 0$ pour $d$ .

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Étape 13.2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 d = 1$

Étape 13.2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 d = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 13.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 d = 1$ par $2$ .

$\frac{2 d}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 13.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 d}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 13.2.2.2.2.1.2

Divisez $d$ par $1$ .

$d = \frac{1}{2}$

Étape 13.3

Définissez $d + 2$ égal à $0$ et résolvez $d$ .

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Étape 13.3.1

Définissez $d + 2$ égal à $0$ .

$d + 2 = 0$

Étape 13.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$d = - 2$

Étape 13.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 d - 1) (d + 2) = 0$ vraie.

$d = \frac{1}{2}, - 2$