Algèbre Exemples

$\frac{p + 5}{p^{2} + p} = \frac{1}{p^{2} + p} - \frac{p - 6}{p + 1}$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{1}{p^{2} + p}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{p + 5}{p^{2} + p} - \frac{1}{p^{2} + p} = - \frac{p - 6}{p + 1}$

Étape 1.2

Ajoutez $\frac{p - 6}{p + 1}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{p + 5}{p^{2} + p} - \frac{1}{p^{2} + p} + \frac{p - 6}{p + 1} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{p + 5}{p^{2} + p} - \frac{1}{p^{2} + p} + \frac{p - 6}{p + 1}$ .

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{p + 5 - 1}{p^{2} + p} + \frac{p - 6}{p + 1} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ de $5$ .

$\frac{p + 4}{p^{2} + p} + \frac{p - 6}{p + 1} = 0$

Étape 2.3

Factorisez $p$ à partir de $p^{2} + p$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $p$ à partir de $p^{2}$ .

$\frac{p + 4}{p \cdot p + p} + \frac{p - 6}{p + 1} = 0$

Étape 2.3.2

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$\frac{p + 4}{p \cdot p + p^{1}} + \frac{p - 6}{p + 1} = 0$

Étape 2.3.3

Factorisez $p$ à partir de $p^{1}$ .

$\frac{p + 4}{p \cdot p + p \cdot 1} + \frac{p - 6}{p + 1} = 0$

Étape 2.3.4

Factorisez $p$ à partir de $p \cdot p + p \cdot 1$ .

$\frac{p + 4}{p (p + 1)} + \frac{p - 6}{p + 1} = 0$

Étape 2.4

Pour écrire $\frac{p - 6}{p + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{p}{p}$ .

$\frac{p + 4}{p (p + 1)} + \frac{p - 6}{p + 1} \cdot \frac{p}{p} = 0$

Étape 2.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $p (p + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{p - 6}{p + 1}$ par $\frac{p}{p}$ .

$\frac{p + 4}{p (p + 1)} + \frac{(p - 6) p}{(p + 1) p} = 0$

Étape 2.5.2

Réorganisez les facteurs de $(p + 1) p$ .

$\frac{p + 4}{p (p + 1)} + \frac{(p - 6) p}{p (p + 1)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{p + 4 + (p - 6) p}{p (p + 1)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p + 4 + p \cdot p - 6 p}{p (p + 1)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $p$ par $p$ .

$\frac{p + 4 + p^{2} - 6 p}{p (p + 1)} = 0$

Étape 2.7.3

Soustrayez $6 p$ de $p$ .

$\frac{- 5 p + 4 + p^{2}}{p (p + 1)} = 0$

Étape 2.7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{p^{2} - 5 p + 4}{p (p + 1)} = 0$

Étape 2.7.5

Factorisez $p^{2} - 5 p + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.7.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 4, - 1$

Étape 2.7.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(p - 4) (p - 1)}{p (p + 1)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(p - 4) (p - 1) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $p$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$p - 4 = 0$

$p - 1 = 0$

Étape 4.2

Définissez $p - 4$ égal à $0$ et résolvez $p$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $p - 4$ égal à $0$ .

$p - 4 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$p = 4$

Étape 4.3

Définissez $p - 1$ égal à $0$ et résolvez $p$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $p - 1$ égal à $0$ .

$p - 1 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$p = 1$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(p - 4) (p - 1) = 0$ vraie.

$p = 4, 1$