Algèbre Exemples

$\frac{4}{y + 3} - \frac{6}{y - 3} = \frac{4}{y^{2} - 9}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{4}{y^{2} - 9}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{4}{y + 3} - \frac{6}{y - 3} - \frac{4}{y^{2} - 9} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{4}{y + 3} - \frac{6}{y - 3} - \frac{4}{y^{2} - 9}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{4}{y + 3} - \frac{6}{y - 3} - \frac{4}{y^{2} - 3^{2}} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 3$ .

$\frac{4}{y + 3} - \frac{6}{y - 3} - \frac{4}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{4}{y + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{4}{y + 3} \cdot \frac{y - 3}{y - 3} - \frac{6}{y - 3} - \frac{4}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{6}{y - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{4}{y + 3} \cdot \frac{y - 3}{y - 3} - \frac{6}{y - 3} \cdot \frac{y + 3}{y + 3} - \frac{4}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y + 3) (y - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{4}{y + 3}$ par $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{4 (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{6}{y - 3} \cdot \frac{y + 3}{y + 3} - \frac{4}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{6}{y - 3}$ par $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{4 (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{6 (y + 3)}{(y - 3) (y + 3)} - \frac{4}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(y - 3) (y + 3)$ .

$\frac{4 (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{6 (y + 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{4}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (y - 3) - 6 (y + 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{4}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (y - 3) - 6 (y + 3) - 4}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 y + 4 \cdot - 3 - 6 (y + 3) - 4}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{4 y - 12 - 6 (y + 3) - 4}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 y - 12 - 6 y - 6 \cdot 3 - 4}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.7.4

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\frac{4 y - 12 - 6 y - 18 - 4}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.8

Soustrayez $6 y$ de $4 y$ .

$\frac{- 2 y - 12 - 18 - 4}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.9

Soustrayez $18$ de $- 12$ .

$\frac{- 2 y - 30 - 4}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.10

Soustrayez $4$ de $- 30$ .

$\frac{- 2 y - 34}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.11

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y - 34$ .

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Étape 2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{2 (- y) - 34}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.11.2

Factorisez $2$ à partir de $- 34$ .

$\frac{2 (- y) + 2 (- 17)}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.11.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- y) + 2 (- 17)$ .

$\frac{2 (- y - 17)}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{2 (- (y) - 17)}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.13

Réécrivez $- 17$ comme $- 1 (17)$ .

$\frac{2 (- (y) - 1 (17))}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (17)$ .

$\frac{2 (- (y + 17))}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.15

Réécrivez $- (y + 17)$ comme $- 1 (y + 17)$ .

$\frac{2 (- 1 (y + 17))}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 2.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (y + 17)}{(y + 3) (y - 3)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (y + 17) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 (y + 17) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (y + 17) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (y + 17)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (y + 17)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Divisez $y + 17$ par $1$ .

$y + 17 = \frac{0}{2}$

Étape 4.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$y + 17 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $17$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 17$