Algèbre Exemples

${(z^{2} + 4 z)}^{2} + 7 (z^{2} + 4 z) + 12 = 0$

Étape 1

Laissez $u = z^{2} + 4 z$ . Remplacez toutes les occurrences de $z^{2} + 4 z$ par $u$ .

$u^{2} + 7 u + 12 = 0$

Étape 2

Factorisez $u^{2} + 7 u + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $7$ .

$3, 4$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u + 3) (u + 4) = 0$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $z^{2} + 4 z$ .

$(z^{2} + 4 z + 3) (z^{2} + 4 z + 4) = 0$

Étape 4

Factorisez $z^{2} + 4 z + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 4 z + 4) = 0$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 4 z + 2^{2}) = 0$

Étape 5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 z = 2 \cdot z \cdot 2$

Étape 5.3

Réécrivez le polynôme.

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 2 \cdot z \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = z$ et $b = 2$ .

$(z + 1) (z + 3) {(z + 2)}^{2} = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$z + 1 = 0$

$z + 3 = 0$

${(z + 2)}^{2} = 0$

Étape 7

Définissez $z + 1$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 7.1

Définissez $z + 1$ égal à $0$ .

$z + 1 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$z = - 1$

Étape 8

Définissez $z + 3$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 8.1

Définissez $z + 3$ égal à $0$ .

$z + 3 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$z = - 3$

Étape 9

Définissez ${(z + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 9.1

Définissez ${(z + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(z + 2)}^{2} = 0$

Étape 9.2

Résolvez ${(z + 2)}^{2} = 0$ pour $z$ .

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Étape 9.2.1

Définissez le $z + 2$ égal à $0$ .

$z + 2 = 0$

Étape 9.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$z = - 2$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(z + 1) (z + 3) {(z + 2)}^{2} = 0$ vraie.

$z = - 1, - 3, - 2$