Algèbre Exemples

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 = 6$

Étape 1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 - 6 = 0$

Étape 2

Soustrayez $6$ de $- 2$ .

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

Étape 3

Réécrivez ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ comme ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 8 = 0$

Étape 4

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 2^{3} = 0$

Étape 5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ et $b = 2$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 6.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + 2^{2}) = 0$

Étape 6.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + 4) = 0$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

Étape 7

Simplifiez $({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)$ .

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Étape 7.1

Développez $({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2

Simplifiez les termes.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.2

Multipliez ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ par ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.2.1

Déplacez ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 + 1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 7.2.1.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2 (1)}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 7.2.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.3

Multipliez ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ par ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.3.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.1.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 + 2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.4

Déplacez $4$ à gauche de ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 \cdot {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

Étape 7.2.2

Associez les termes opposés dans $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8$ .

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ de $4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 0 - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ et $0$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

Étape 7.2.2.3

Soustrayez $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

Étape 7.2.2.4

Additionnez $0$ et ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

Étape 8

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} = 8$

Étape 9

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{4}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 10

Simplifiez l’exposant.

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Étape 10.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.1.1

Simplifiez ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 10.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 10.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - x - 4)}^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.1.2

Simplifiez

$x^{2} - x - 4 = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

Simplifiez $8^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 10.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.1.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x^{2} - x - 4 = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x - 4 = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 10.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - x - 4 = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 10.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - x - 4 = 2^{4}$

Étape 10.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$x^{2} - x - 4 = 16$

Étape 11

Résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - 4 - 16 = 0$

Étape 11.2

Soustrayez $16$ de $- 4$ .

$x^{2} - x - 20 = 0$

Étape 11.3

Factorisez $x^{2} - x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 11.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 5, 4$

Étape 11.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Étape 11.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 11.5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 11.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 11.6

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.6.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 11.6.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 11.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 5, - 4$