Algèbre Exemples

${(\frac{1}{9})}^{a + 1} = 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$

Étape 1

Soustrayez $81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ des deux côtés de l’équation.

${(\frac{1}{9})}^{a + 1} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

Étape 2

Simplifiez ${(\frac{1}{9})}^{a + 1} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1^{a + 1}}{9^{a + 1}} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $- 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ .

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Étape 2.1.3.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - ({(3^{3})}^{2 - a} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Étape 2.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(3^{3})}^{2 - a}$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{3 (2 - a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Étape 2.1.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{3 \cdot 2 + 3 (- a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Étape 2.1.3.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 + 3 (- a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Étape 2.1.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Étape 2.1.3.3

Réécrivez $81$ comme $3^{4}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot {(3^{4})}^{a + 1}) = 0$

Étape 2.1.3.4

Multipliez les exposants dans ${(3^{4})}^{a + 1}$ .

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Étape 2.1.3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 (a + 1)}) = 0$

Étape 2.1.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 a + 4 \cdot 1}) = 0$

Étape 2.1.3.4.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 a + 4}) = 0$

Étape 2.1.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{6 - 3 a + 4 a + 4} = 0$

Étape 2.1.3.6

Additionnez $6$ et $4$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{- 3 a + 4 a + 10} = 0$

Étape 2.1.3.7

Additionnez $- 3 a$ et $4 a$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{a + 10} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- 3^{a + 10}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{a + 10} \cdot \frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Étape 2.3

Associez $- 3^{a + 10}$ et $\frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} + \frac{- 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{1^{3} - 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Étape 2.5.2

Réécrivez $3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}$ comme ${(3^{a + 4})}^{3}$ .

$\frac{1^{3} - {(3^{a + 4})}^{3}}{9^{a + 1}} = 0$

Étape 2.5.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = 3^{a + 4}$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1^{2} + 1 \cdot 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

Étape 2.5.4

Simplifiez

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Étape 2.5.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $3^{a + 4}$ par $1$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

Étape 2.5.4.3

Multipliez les exposants dans ${(3^{a + 4})}^{2}$ .

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Étape 2.5.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{(a + 4) \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

Étape 2.5.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{a \cdot 2 + 4 \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

Étape 2.5.4.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $a$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 \cdot a + 4 \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

Étape 2.5.4.3.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})}{9^{a + 1}} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8}) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})$ .

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Étape 4.1.1

Développez $(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$1 \cdot 1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Étape 4.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $3^{a + 4}$ par $1$ .

$1 + 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $3^{2 a + 8}$ par $1$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 1 \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Étape 4.1.2.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot 3^{a + 4}$ comme $- 3^{a + 4}$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $3^{a + 4}$ par $3^{a + 4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.1.6.1

Déplacez $3^{a + 4}$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - (3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4}) - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Étape 4.1.2.1.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{a + 4 + a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Étape 4.1.2.1.6.3

Additionnez $a$ et $a$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 4 + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Étape 4.1.2.1.6.4

Additionnez $4$ et $4$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Étape 4.1.2.1.7

Multipliez $3^{a + 4}$ par $3^{2 a + 8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.1.7.1

Déplacez $3^{2 a + 8}$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - (3^{2 a + 8} \cdot 3^{a + 4}) = 0$

Étape 4.1.2.1.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8 + a + 4} = 0$

Étape 4.1.2.1.7.3

Additionnez $2 a$ et $a$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 8 + 4} = 0$

Étape 4.1.2.1.7.4

Additionnez $8$ et $4$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

Étape 4.1.2.2

Associez les termes opposés dans $1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12}$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $3^{a + 4}$ de $3^{a + 4}$ .

$1 + 0 + 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 + 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

Étape 4.1.2.2.3

Soustrayez $3^{2 a + 8}$ de $3^{2 a + 8}$ .

$1 + 0 - 3^{3 a + 12} = 0$

Étape 4.1.2.2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - 3^{3 a + 12} = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 3^{3 a + 12} = - 1$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $- 3^{3 a + 12} = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3^{3 a + 12} = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 3^{3 a + 12}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{3^{3 a + 12}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.2.2

Divisez $3^{3 a + 12}$ par $1$ .

$3^{3 a + 12} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$3^{3 a + 12} = 1$

Étape 4.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{3 a + 12}) = \ln (1)$

Étape 4.5

Développez $\ln (3^{3 a + 12})$ en déplaçant $3 a + 12$ hors du logarithme.

$(3 a + 12) \ln (3) = \ln (1)$

Étape 4.6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 a \ln (3) + 12 \ln (3) = \ln (1)$

Étape 4.7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.7.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$3 a \ln (3) + 12 \ln (3) = 0$

Étape 4.8

Soustrayez $12 \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$

Étape 4.9

Divisez chaque terme dans $3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$ par $3 \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 4.9.1

Divisez chaque terme dans $3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$ par $3 \ln (3)$ .

$\frac{3 a \ln (3)}{3 \ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Étape 4.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.9.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 a \ln (3)}{3 \ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Étape 4.9.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Étape 4.9.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 4.9.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Étape 4.9.2.2.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Étape 4.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.9.3.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $3$ .

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Étape 4.9.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 \ln (3)$ .

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

Étape 4.9.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.9.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \ln (3)$ .

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

Étape 4.9.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

Étape 4.9.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Étape 4.9.3.2

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 4.9.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Étape 4.9.3.2.2

Divisez $- 4$ par $1$ .

$a = - 4$