Algèbre Exemples

$9 x^{4} + 44 x^{2} = 5$

Étape 1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{4} + 44 x^{2} - 5 = 0$

Étape 2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$9 {(x^{2})}^{2} + 44 x^{2} - 5 = 0$

Étape 3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$9 u^{2} + 44 u - 5 = 0$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot - 5 = - 45$ et dont la somme est $b = 44$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $44$ à partir de $44 u$ .

$9 u^{2} + 44 (u) - 5 = 0$

Étape 4.1.2

Réécrivez $44$ comme $- 1$ plus $45$

$9 u^{2} + (- 1 + 45) u - 5 = 0$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 u^{2} - 1 u + 45 u - 5 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(9 u^{2} - 1 u) + 45 u - 5 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (9 u - 1) + 5 (9 u - 1) = 0$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u + 5) = 0$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(9 x^{2} - 1) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 6

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$({(3 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 7

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$({(3 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 1$ .

$(3 x + 1) (3 x - 1) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

Étape 10

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 11

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 12

Définissez $x^{2} + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x^{2} + 5$ égal à $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x^{2} + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 5$

Étape 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Étape 12.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Étape 12.2.3.1

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Étape 12.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (5)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Étape 12.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Étape 12.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{5}$

Étape 12.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{5}$

Étape 12.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 1) (3 x - 1) (x^{2} + 5) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$