Algèbre Exemples

$\ln (x - 3) + \ln (x + 2) = \ln (x - 7)$

Étape 1

Soustrayez $\ln (x - 7)$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (x - 3) + \ln (x + 2) - \ln (x - 7) = 0$

Étape 2

Simplifiez $\ln (x - 3) + \ln (x + 2) - \ln (x - 7)$ .

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Étape 2.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (x + 2)) - \ln (x - 7) = 0$

Étape 2.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}) = 0$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$(x - 3) (x + 2) = e^{0} (x - 7)$

Étape 5

Simplifiez $e^{0} (x - 7)$ .

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Étape 5.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$(x - 3) (x + 2) = 1 (x - 7)$

Étape 5.2

Multipliez $x - 7$ par $1$ .

$(x - 3) (x + 2) = x - 7$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$(x - 3) (x + 2) - x = - 7$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Développez $(x - 3) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 2) - 3 (x + 2) - x = - 7$

Étape 6.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2) - x = - 7$

Étape 6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Étape 6.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Étape 6.2.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Étape 6.2.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$x^{2} + 2 x - 3 x - 6 - x = - 7$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$x^{2} - x - 6 - x = - 7$

Étape 6.3

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 2 x - 6 = - 7$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x = - 7 + 6$

Étape 7.2

Additionnez $- 7$ et $6$ .

$x^{2} - 2 x = - 1$

Étape 8

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Étape 9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Étape 9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 9.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 10

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 11

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$