Algèbre Exemples

$\frac{8}{9 - a^{2}} \div \frac{4 a^{2} - 4 a - 24}{a^{2} - 6 a + 9}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{8}{9 - a^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 6 a + 9}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{8}{3^{2} - a^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 6 a + 9}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = a$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{a^{2} - 6 a + 9}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{a^{2} - 6 a + 3^{2}}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Étape 3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 a = 2 \cdot a \cdot 3$

Étape 3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^{2}}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 3$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 a^{2} - 4 a - 24}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 a^{2} - 4 a - 24$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 a^{2}$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2}) - 4 a - 24}$

Étape 4.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 a$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2}) + 4 (- a) - 24}$

Étape 4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 24$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2}) + 4 (- a) + 4 (- 6)}$

Étape 4.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (a^{2}) + 4 (- a)$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2} - a) + 4 (- 6)}$

Étape 4.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (a^{2} - a) + 4 (- 6)$ .

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a^{2} - a - 6)}$

Étape 4.2

Factorisez $a^{2} - a - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 ((a - 3) (a + 2))}$

$\frac{8}{(3 + a) (3 - a)} \cdot \frac{{(a - 3)}^{2}}{4 (a - 3) (a + 2)}$

Étape 5

Associez.

$\frac{8 {(a - 3)}^{2}}{(3 + a) (3 - a) (4 (a - 3) (a + 2))}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 6.1

Factorisez $4$ à partir de $8 {(a - 3)}^{2}$ .

$\frac{4 (2 {(a - 3)}^{2})}{(3 + a) (3 - a) (4 (a - 3) (a + 2))}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $(3 + a) (3 - a) (4 (a - 3) (a + 2))$ .

$\frac{4 (2 {(a - 3)}^{2})}{4 ((3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2)))}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (2 {(a - 3)}^{2})}{4 ((3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2)))}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 {(a - 3)}^{2}}{(3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2))}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à ${(a - 3)}^{2}$ et $a - 3$ .

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Étape 7.1

Factorisez $a - 3$ à partir de $2 {(a - 3)}^{2}$ .

$\frac{(a - 3) (2 (a - 3))}{(3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2))}$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Factorisez $a - 3$ à partir de $(3 + a) (3 - a) ((a - 3) (a + 2))$ .

$\frac{(a - 3) (2 (a - 3))}{(a - 3) ((3 + a) (3 - a) (a + 2))}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 3) (2 (a - 3))}{(a - 3) ((3 + a) (3 - a) (a + 2))}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (a - 3)}{(3 + a) (3 - a) (a + 2)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $a - 3$ et $3 - a$ .

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Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $a$ .

$\frac{2 (- 1 (- a) - 3)}{(3 + a) (3 - a) (a + 2)}$

Étape 8.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{2 (- 1 (- a) - 1 (3))}{(3 + a) (3 - a) (a + 2)}$

Étape 8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- a) - 1 (3)$ .

$\frac{2 (- 1 (- a + 3))}{(3 + a) (3 - a) (a + 2)}$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (- 1 (- a + 3))}{(3 + a) (- a + 3) (a + 2)}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (- a + 3))}{(3 + a) (- a + 3) (a + 2)}$

Étape 8.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{(3 + a) (a + 2)}$

Étape 9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{(3 + a) (a + 2)}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{(3 + a) (a + 2)}$