Algèbre Exemples

$\frac{a^{2 n} - a^{n} - 6}{a^{n} + 8}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $a^{2 n}$ comme ${(a^{n})}^{2}$ .

$\frac{{(a^{n})}^{2} - a^{n} - 6}{a^{n} + 8}$

Étape 1.2

Laissez $u = a^{n}$ . Remplacez toutes les occurrences de $a^{n}$ par $u$ .

$\frac{u^{2} - u - 6}{a^{n} + 8}$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} - u - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(u - 3) (u + 2)}{a^{n} + 8}$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $a^{n}$ .

$\frac{(a^{n} - 3) (a^{n} + 2)}{a^{n} + 8}$

Étape 2

Développez $(a^{n} - 3) (a^{n} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{n} (a^{n} + 2) - 3 (a^{n} + 2)}{a^{n} + 8}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{n} a^{n} + a^{n} \cdot 2 - 3 (a^{n} + 2)}{a^{n} + 8}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{n} a^{n} + a^{n} \cdot 2 - 3 a^{n} - 3 \cdot 2}{a^{n} + 8}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $a^{n}$ par $a^{n}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{n + n} + a^{n} \cdot 2 - 3 a^{n} - 3 \cdot 2}{a^{n} + 8}$

Étape 3.1.1.2

Additionnez $n$ et $n$ .

$\frac{a^{2 n} + a^{n} \cdot 2 - 3 a^{n} - 3 \cdot 2}{a^{n} + 8}$

Étape 3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $a^{n}$ .

$\frac{a^{2 n} + 2 \cdot a^{n} - 3 a^{n} - 3 \cdot 2}{a^{n} + 8}$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{a^{2 n} + 2 a^{n} - 3 a^{n} - 6}{a^{n} + 8}$

Étape 3.2

Soustrayez $3 a^{n}$ de $2 a^{n}$ .

$\frac{a^{2 n} - a^{n} - 6}{a^{n} + 8}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{a^{2 n} - a^{n} - 6}{a^{n} + 8}$ en deux fractions.

$\frac{a^{2 n} - a^{n}}{a^{n} + 8} + \frac{- 6}{a^{n} + 8}$

Étape 5

Divisez la fraction $\frac{a^{2 n} - a^{n}}{a^{n} + 8}$ en deux fractions.

$\frac{a^{2 n}}{a^{n} + 8} + \frac{- a^{n}}{a^{n} + 8} + \frac{- 6}{a^{n} + 8}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{a^{2 n}}{a^{n} + 8} - \frac{a^{n}}{a^{n} + 8} + \frac{- 6}{a^{n} + 8}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{a^{2 n}}{a^{n} + 8} - \frac{a^{n}}{a^{n} + 8} - \frac{6}{a^{n} + 8}$