Algèbre Exemples

$\frac{x^{- 4} + y^{- 4}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{4}} + y^{- 4}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{y^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Étape 1.3

Pour écrire $\frac{1}{x^{4}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Étape 1.4

Pour écrire $\frac{1}{y^{4}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Étape 1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{4} y^{4}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{1}{x^{4}}$ par $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{\frac{y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{1}{y^{4}}$ par $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{x^{4}}{y^{4} x^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Étape 1.5.3

Réorganisez les facteurs de $y^{4} x^{4}$ .

$\frac{\frac{y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{x^{- 3} + y^{- 3}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $x^{- 3}$ comme ${(x^{- 1})}^{3}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{{(x^{- 1})}^{3} + y^{- 3}}$

Étape 2.2

Réécrivez $y^{- 3}$ comme ${(y^{- 1})}^{3}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{{(x^{- 1})}^{3} + {(y^{- 1})}^{3}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x^{- 1}$ et $b = y^{- 1}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(x^{- 1} + y^{- 1}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{1}{x} + y^{- 1}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4.3

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4.4

Pour écrire $\frac{1}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{y}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4.5.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{y x}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4.5.3

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}) ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} ({(x^{- 1})}^{2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 2.4.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (x^{- 1 \cdot 2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4.7.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (x^{- 2} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - x^{- 1} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} y^{- 1} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4.10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4.11

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y x} + {(y^{- 1})}^{2})}$

Étape 2.4.12

Multipliez les exposants dans ${(y^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 2.4.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y x} + y^{- 1 \cdot 2})}$

Étape 2.4.12.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y x} + y^{- 2})}$

Étape 2.4.13

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 2.4.14

Pour écrire $\frac{1}{x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 2.4.15

Pour écrire $- \frac{1}{y x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 2.4.16

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.16.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{1}{y x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 2.4.16.2

Multipliez $\frac{1}{y x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y x \cdot x} + \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 2.4.16.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y (x^{1} x)} + \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 2.4.16.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y (x^{1} x^{1})} + \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 2.4.16.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y x^{1 + 1}} + \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 2.4.16.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{y x^{2}} + \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 2.4.16.7

Réorganisez les facteurs de $y x^{2}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x^{2} y} - \frac{x}{x^{2} y} + \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 2.4.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y - x}{x^{2} y} + \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 2.4.18

Pour écrire $\frac{y - x}{x^{2} y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y - x}{x^{2} y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y^{2}})}$

Étape 2.4.19

Pour écrire $\frac{1}{y^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y - x}{x^{2} y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Étape 2.4.20

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{2} y^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.20.1

Multipliez $\frac{y - x}{x^{2} y}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y \cdot y} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Étape 2.4.20.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} (y^{1} y)} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Étape 2.4.20.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} (y^{1} y^{1})} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Étape 2.4.20.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y^{1 + 1}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Étape 2.4.20.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}})}$

Étape 2.4.20.6

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2} x^{2}})}$

Étape 2.4.20.7

Réorganisez les facteurs de $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{(y - x) y}{x^{2} y^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2} y^{2}})}$

Étape 2.4.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{(y - x) y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}}$

Étape 2.4.22

Réécrivez $\frac{(y - x) y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}$ en forme factorisée.

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Étape 2.4.22.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y \cdot y - x y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}}$

Étape 2.4.22.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y^{2} - x y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{y + x}{x y}$ par $\frac{y^{2} - x y + x^{2}}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x y (x^{2} y^{2})}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{2} x^{1} y \cdot y^{2}}}$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{2 + 1} y \cdot y^{2}}}$

Étape 4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} y \cdot y^{2}}}$

Étape 4.4

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} (y^{2} y)}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 4.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} (y^{2} y^{1})}}$

Étape 4.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} y^{2 + 1}}}$

Étape 4.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}}}{\frac{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}{x^{3} y^{3}}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{4} y^{4}} \cdot \frac{x^{3} y^{3}}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x^{3} y^{3}$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x^{3} y^{3}$ à partir de $x^{4} y^{4}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{3} y^{3} (x y)} \cdot \frac{x^{3} y^{3}}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x^{3} y^{3} (x y)} \cdot \frac{x^{3} y^{3}}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x y} \cdot \frac{1}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$

Étape 7

Multipliez $\frac{y^{4} + x^{4}}{x y}$ par $\frac{1}{(y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4}}{x y (y + x) (y^{2} - x y + x^{2})}$