Algèbre Exemples

$g (x) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}$

Étape 1

Écrivez $g (x) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}$ comme une équation.

$y = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 y + 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 y + 5} = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 y + 5} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 y + 5}) = 3 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 y + 5})$ .

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Étape 3.3.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt[3]{2 y + 5}$ .

$3 \frac{\sqrt[3]{2 y + 5}}{3} = 3 x$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{\sqrt[3]{2 y + 5}}{3} = 3 x$

Étape 3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{2 y + 5} = 3 x$

Étape 3.4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{2 y + 5}}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Étape 3.5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 y + 5}$ comme ${(2 y + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(2 y + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez ${({(2 y + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 y + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Étape 3.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 y + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Étape 3.5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 y + 5)}^{1} = {(3 x)}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2

Simplifiez

$2 y + 5 = {(3 x)}^{3}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez ${(3 x)}^{3}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$2 y + 5 = 3^{3} x^{3}$

Étape 3.5.3.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$2 y + 5 = 27 x^{3}$

Étape 3.6

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = 27 x^{3} - 5$

Étape 3.6.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 27 x^{3} - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 27 x^{3} - 5$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{27 x^{3}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{27 x^{3}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.6.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{27 x^{3}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $g^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$g^{- 1} (x) = \frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $g^{- 1} (x) = \frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}$ est l’inverse de $g (x) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $g^{- 1} (g (x)) = x$ et $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $g^{- 1} (g (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$g^{- 1} (g (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5})$ en remplaçant la valeur de $g$ par $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{27 {(\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5})}^{3}}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{27 {(\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5})}^{3} - 5}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt[3]{2 x + 5}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{27 {(\frac{\sqrt[3]{2 x + 5}}{3})}^{3} - 5}{2}$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{2 x + 5}}{3}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{27 (\frac{{\sqrt[3]{2 x + 5}}^{3}}{3^{3}}) - 5}{2}$

Étape 5.2.4.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{2 x + 5}}^{3}$ comme $2 x + 5$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 x + 5}$ comme ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{27 (\frac{{({(2 x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}}) - 5}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{27 (\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) - 5}{2}$

Étape 5.2.4.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{27 (\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) - 5}{2}$

Étape 5.2.4.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{27 (\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) - 5}{2}$

Étape 5.2.4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{27 (\frac{2 x + 5}{3^{3}}) - 5}{2}$

Étape 5.2.4.3.5

Simplifiez

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{27 (\frac{2 x + 5}{3^{3}}) - 5}{2}$

Étape 5.2.4.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{27 (\frac{2 x + 5}{27}) - 5}{2}$

Étape 5.2.4.5

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 5.2.4.5.1

Annulez le facteur commun.

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{27 (\frac{2 x + 5}{27}) - 5}{2}$

Étape 5.2.4.5.2

Réécrivez l’expression.

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x + 5 - 5$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$g^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $g (g^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$g (g^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2})$ en remplaçant la valeur de $g^{- 1}$ par $g$ .

$g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) + 5}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 (\frac{27 x^{3}}{2}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 (\frac{27 x^{3}}{2}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{27 x^{3} + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{2}$ dans le numérateur.

$g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{27 x^{3} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{27 x^{3} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Étape 5.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{27 x^{3} - 5 + 5}$

Étape 5.3.6

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.3.6.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{27 x^{3} + 0}$

Étape 5.3.6.2

Additionnez $27 x^{3}$ et $0$ .

$g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{27 x^{3}}$

Étape 5.3.7

Réécrivez $27 x^{3}$ comme ${(3 x)}^{3}$ .

$g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{{(3 x)}^{3}}$

Étape 5.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Étape 5.3.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.9.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Étape 5.3.9.2

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Étape 5.3.9.3

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $g^{- 1} (g (x)) = x$ et $g (g^{- 1} (x)) = x$ , $g^{- 1} (x) = \frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}$ est l’inverse de $g (x) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{2 x + 5}$ .

$g^{- 1} (x) = \frac{27 x^{3}}{2} - \frac{5}{2}$