Algèbre Exemples

$\frac{x - 2}{x^{2} + x - 12} + \frac{x}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 2}{(x - 3) (x + 4)} + \frac{x}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 2}{(x - 3) (x + 4)} + \frac{x}{(x - 3) (x + 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x - 2}{(x - 3) (x + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 2}{(x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{(x - 3) (x + 1)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x}{(x - 3) (x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x - 2}{(x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) (x + 4) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x - 2}{(x - 3) (x + 4)}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x - 3) (x + 4) (x + 1)} + \frac{x}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x}{(x - 3) (x + 1)}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x - 3) (x + 4) (x + 1)} + \frac{x (x + 4)}{(x - 3) (x + 1) (x + 4)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 4) (x + 1)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)} + \frac{x (x + 4)}{(x - 3) (x + 1) (x + 4)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 1) (x + 4)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)} + \frac{x (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 2) (x + 1) + x (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(x - 2) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 1) - 2 (x + 1) + x (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (x + 1) + x (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 + x (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 + x (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 2 x - 2 \cdot 1 + x (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 2 x - 2 + x (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 + x (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - x - 2 + x \cdot x + x \cdot 4}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 + x^{2} + x \cdot 4}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.5

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 + x^{2} + 4 \cdot x}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.6

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 2 + 4 x}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.7

Additionnez $- x$ et $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.8

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 6.8.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 (x) - 2}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.8.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1)}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 4) (x - 3)}$