Algèbre Exemples

$\frac{\frac{x - 1}{x} - \frac{- 4}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x (x - 1)$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{x - 1}{x} - \frac{- 4}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1}}$ par $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)} \cdot \frac{\frac{x - 1}{x} - \frac{- 4}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{x (x - 1) (\frac{x - 1}{x} - \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) (\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 1) \frac{x - 1}{x} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 1) \frac{x - 1}{x} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 1) (x - 1) + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.2

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} (x - 1) + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.3

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x - 1)}^{1 + 1} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x (x - 1) (- \frac{- 4}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{- 4}{x - 1}$ dans le numérateur.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x (x - 1) \frac{4}{x - 1}}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.6.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $x (x - 1)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} + (x - 1) x \frac{4}{x - 1}}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + (x - 1) x \frac{4}{x - 1}}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{(x - 1) (x + 1) + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.8.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $x (x - 1)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{(x - 1) (x + 1) + (x - 1) x \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{(x - 1) (x + 1) + (x - 1) x \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + x \cdot 4}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$\frac{u^{2} + 2 u + 1}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 4.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) + x (x + 1)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x + 1$ à partir de $x (x + 1)$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) + (x + 1) x}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x + 1) (x - 1) + (x + 1) x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1 + x)}$

Étape 5.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et $x + 1$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{2 x - 1}$