Algèbre Exemples

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + \frac{x}{x + 1}$

Étape 1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{x}{x + 1}$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x + 1)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x}{x + 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)}$

Étape 3.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Étape 3.3

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + x (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + x \cdot x + x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1 + x^{2} + x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 5.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1 + x^{2} + x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} + x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$