Algèbre Exemples

$\frac{6}{x^{2} - 4} + \frac{5}{x + 2} - \frac{5}{2 - x}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{6}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{5}{x + 2} - \frac{5}{2 - x}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{6}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{5}{x + 2} - \frac{5}{2 - x}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{5}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{6}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{5}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{5}{2 - x}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{5}{x + 2}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{6}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{5 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{2 - x}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 + 5 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{2 - x}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 + 5 x + 5 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{2 - x}$

Étape 4.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$\frac{6 + 5 x - 10}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{2 - x}$

Étape 4.3

Soustrayez $10$ de $6$ .

$\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{2 - x}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{- 1 (- 2) - x}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{- 1 (- 2) - (x)}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{- 1 (- 2 + x)}$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{5}{- 1 (x - 2)}$

Étape 6

Pour écrire $\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{5}{- 1 (x - 2)}$

Étape 7

Pour écrire $- \frac{5}{- 1 (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{5}{- 1 (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 2) (x - 2) \cdot - 1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{5 x - 4}{(x + 2) (x - 2)}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(5 x - 4) \cdot - 1}{(x + 2) (x - 2) \cdot - 1} - \frac{5}{- 1 (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{5}{- 1 (x - 2)}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(5 x - 4) \cdot - 1}{(x + 2) (x - 2) \cdot - 1} - \frac{5 (x + 2)}{- 1 (x - 2) (x + 2)}$

Étape 8.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 2) (x - 2) \cdot - 1$ .

$\frac{(5 x - 4) \cdot - 1}{- (x + 2) (x - 2)} - \frac{5 (x + 2)}{- 1 (x - 2) (x + 2)}$

Étape 8.4

Réorganisez les facteurs de $- 1 (x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{(5 x - 4) \cdot - 1}{- (x + 2) (x - 2)} - \frac{5 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(5 x - 4) \cdot - 1 - 5 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x \cdot - 1 - 4 \cdot - 1 - 5 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Étape 10.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{- 5 x - 4 \cdot - 1 - 5 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Étape 10.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 x + 4 - 5 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Étape 10.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 x + 4 - 5 x - 5 \cdot 2}{- (x + 2) (x - 2)}$

Étape 10.5

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{- 5 x + 4 - 5 x - 10}{- (x + 2) (x - 2)}$

Étape 10.6

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{- 10 x + 4 - 10}{- (x + 2) (x - 2)}$

Étape 10.7

Soustrayez $10$ de $4$ .

$\frac{- 10 x - 6}{- (x + 2) (x - 2)}$

Étape 10.8

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x - 6$ .

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Étape 10.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x$ .

$\frac{2 (- 5 x) - 6}{- (x + 2) (x - 2)}$

Étape 10.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 (- 5 x) + 2 (- 3)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Étape 10.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 5 x) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (- 5 x - 3)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Étape 11

Simplifiez en factorisant.

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (- 5 x - 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 11.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x$ .

$- \frac{2 (- (5 x) - 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 11.3

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$- \frac{2 (- (5 x) - 1 (3))}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x) - 1 (3)$ .

$- \frac{2 (- (5 x + 3))}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 11.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.5.1

Réécrivez $- (5 x + 3)$ comme $- 1 (5 x + 3)$ .

$- \frac{2 (- 1 (5 x + 3))}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 11.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2 (5 x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 11.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{2 (5 x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 11.5.4

Multipliez $\frac{2 (5 x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$ par $1$ .

$\frac{2 (5 x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$