Algèbre Exemples

$\frac{4 x^{2} - y^{2}}{8 x^{2} + 10 x y + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - y^{2}}{8 x^{2} + 10 x y + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{8 x^{2} + 10 x y + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ et dont la somme est $b = 10$ .

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Étape 2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{8 x^{2} + 3 y^{2} + 10 x y} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 2.1.2

Remettez dans l’ordre $3 y^{2}$ et $10 x y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{8 x^{2} + 10 x y + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 2.1.3

Factorisez $10$ à partir de $10 x y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{8 x^{2} + 10 (x y) + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 2.1.4

Réécrivez $10$ comme $4$ plus $6$

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{8 x^{2} + (4 + 6) (x y) + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{8 x^{2} + 4 (x y) + 6 (x y) + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 2.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{8 x^{2} + 4 x y + 6 x y + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(8 x^{2} + 4 x y) + 6 x y + 3 y^{2}} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{4 x (2 x + y) + 3 y (2 x + y)} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 3.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 y^{2} - 9 x y}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 3.1.2

Remettez dans l’ordre $- 9 y^{2}$ et $- 9 x y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 3.1.3

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 x y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{4 x^{2} - 9 (x y) - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 3.1.4

Réécrivez $- 9$ comme $3$ plus $- 12$

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{4 x^{2} + (3 - 12) (x y) - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{4 x^{2} + 3 (x y) - 12 (x y) - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 3.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{4 x^{2} + 3 x y - 12 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x^{2} + 3 x y) - 12 x y - 9 y^{2}}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{x (4 x + 3 y) - 3 y (4 x + 3 y)}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x + 3 y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 4.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} - 3 y^{2} - 5 x y}$

Étape 4.1.2

Remettez dans l’ordre $- 3 y^{2}$ et $- 5 x y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} - 5 x y - 3 y^{2}}$

Étape 4.1.3

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} - 5 (x y) - 3 y^{2}}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 5$ comme $1$ plus $- 6$

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} + (1 - 6) (x y) - 3 y^{2}}$

Étape 4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} + 1 (x y) - 6 (x y) - 3 y^{2}}$

Étape 4.1.6

Multipliez $x y$ par $1$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} + x y - 6 (x y) - 3 y^{2}}$

Étape 4.1.7

Déplacez les parenthèses.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{2 x^{2} + x y - 6 x y - 3 y^{2}}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{(2 x^{2} + x y) - 6 x y - 3 y^{2}}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{x (2 x + y) - 3 y (2 x + y)}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + y$ .

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{(2 x + y) (x - 3 y)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $2 x + y$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{(2 x + y) (x - 3 y)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x - y}{(2 x + y) (4 x + 3 y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{x - 3 y}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $4 x + 3 y$ .

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Étape 6.1

Factorisez $4 x + 3 y$ à partir de $(2 x + y) (4 x + 3 y)$ .

$\frac{2 x - y}{(4 x + 3 y) (2 x + y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{x - 3 y}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x - y}{(4 x + 3 y) (2 x + y)} \cdot \frac{(4 x + 3 y) (x - 3 y)}{x - 3 y}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x - y}{2 x + y} \cdot \frac{x - 3 y}{x - 3 y}$

Étape 7

Multipliez $\frac{2 x - y}{2 x + y}$ par $\frac{x - 3 y}{x - 3 y}$ .

$\frac{(2 x - y) (x - 3 y)}{(2 x + y) (x - 3 y)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $x - 3 y$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x - y) (x - 3 y)}{(2 x + y) (x - 3 y)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x - y}{2 x + y}$