Algèbre Exemples

$\frac{2 a + 5}{a^{2} + 5 a + 4} + \frac{9}{(a + 4) (a^{2} + 4 a + 3)} - \frac{a b}{a^{2} b + 7 a b + 12 b}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $a^{2} + 5 a + 4$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $5$ .

$1, 4$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a^{2} + 4 a + 3)} - \frac{a b}{a^{2} b + 7 a b + 12 b}$

Étape 1.2

Factorisez $a^{2} + 4 a + 3$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) ((a + 1) (a + 3))} - \frac{a b}{a^{2} b + 7 a b + 12 b}$

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{a^{2} b + 7 a b + 12 b}$

Étape 1.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Factorisez $b$ à partir de $a^{2} b + 7 a b + 12 b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Factorisez $b$ à partir de $a^{2} b$ .

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b a^{2} + 7 a b + 12 b}$

Étape 1.3.1.2

Factorisez $b$ à partir de $7 a b$ .

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b a^{2} + b (7 a) + 12 b}$

Étape 1.3.1.3

Factorisez $b$ à partir de $12 b$ .

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b a^{2} + b (7 a) + b \cdot 12}$

Étape 1.3.1.4

Factorisez $b$ à partir de $b a^{2} + b (7 a)$ .

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b (a^{2} + 7 a) + b \cdot 12}$

Étape 1.3.1.5

Factorisez $b$ à partir de $b (a^{2} + 7 a) + b \cdot 12$ .

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b (a^{2} + 7 a + 12)}$

Étape 1.3.2

Factorisez $a^{2} + 7 a + 12$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $7$ .

$3, 4$

Étape 1.3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b ((a + 3) (a + 4))}$

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b (a + 3) (a + 4)}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a b}{b (a + 3) (a + 4)}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez $\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)}$ par $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{2 a + 5}{(a + 1) (a + 4)}$ par $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$ par $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - (\frac{a}{(a + 3) (a + 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1})$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{a}{(a + 3) (a + 4)}$ par $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 4) (a + 1) (a + 3)} - \frac{a (a + 1)}{(a + 3) (a + 4) (a + 1)}$

Étape 2.5

Réorganisez les facteurs de $(a + 4) (a + 1) (a + 3)$ .

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)} - \frac{a (a + 1)}{(a + 3) (a + 4) (a + 1)}$

Étape 2.6

Réorganisez les facteurs de $(a + 3) (a + 4) (a + 1)$ .

$\frac{(2 a + 5) (a + 3)}{(a + 1) (a + 4) (a + 3)} + \frac{9}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)} - \frac{a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 a + 5) (a + 3) + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Développez $(2 a + 5) (a + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a (a + 3) + 5 (a + 3) + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a \cdot a + 2 a \cdot 3 + 5 (a + 3) + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a \cdot a + 2 a \cdot 3 + 5 a + 5 \cdot 3 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1.1

Déplacez $a$ .

$\frac{2 (a \cdot a) + 2 a \cdot 3 + 5 a + 5 \cdot 3 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 a \cdot 3 + 5 a + 5 \cdot 3 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 a^{2} + 6 a + 5 a + 5 \cdot 3 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{2 a^{2} + 6 a + 5 a + 15 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $6 a$ et $5 a$ .

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a \cdot a - a \cdot 1}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.2.4

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Déplacez $a$ .

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - (a \cdot a) - a \cdot 1}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a^{2} - a \cdot 1}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a^{2} - a}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Soustrayez $a^{2}$ de $2 a^{2}$ .

$\frac{a^{2} + 11 a + 15 + 9 - a}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $a$ de $11 a$ .

$\frac{a^{2} + 10 a + 15 + 9}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 3.3.3

Additionnez $15$ et $9$ .

$\frac{a^{2} + 10 a + 24}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 4

Factorisez $a^{2} + 10 a + 24$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $10$ .

$4, 6$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a + 4) (a + 6)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $a + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 4) (a + 6)}{(a + 1) (a + 3) (a + 4)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a + 6}{(a + 1) (a + 3)}$