Algèbre Exemples

$\frac{2 x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{x + 1}{2 x - 2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 x}{(x - 1) (x + 3)} + \frac{x + 1}{2 x - 2}$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 x}{(x - 1) (x + 3)} + \frac{x + 1}{2 (x) - 2}$

Étape 1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 x}{(x - 1) (x + 3)} + \frac{x + 1}{2 (x) + 2 (- 1)}$

Étape 1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 x}{(x - 1) (x + 3)} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 x}{(x - 1) (x + 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x}{(x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x + 1}{2 (x - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 x}{(x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 1) (x + 3) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 x}{(x - 1) (x + 3)}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{(x - 1) (x + 3) \cdot 2} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x + 1}{2 (x - 1)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{(x - 1) (x + 3) \cdot 2} + \frac{(x + 1) (x + 3)}{2 (x - 1) (x + 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 3) \cdot 2$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{2 (x + 3) (x - 1)} + \frac{(x + 1) (x + 3)}{2 (x - 1) (x + 3)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $2 (x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{2 (x + 3) (x - 1)} + \frac{(x + 1) (x + 3)}{2 (x + 3) (x - 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x \cdot 2 + (x + 1) (x + 3)}{2 (x + 3) (x - 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x + (x + 1) (x + 3)}{2 (x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.2

Développez $(x + 1) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x + x (x + 3) + 1 (x + 3)}{2 (x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x + x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (x + 3)}{2 (x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x + x \cdot x + x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{2 (x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x + x^{2} + x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{2 (x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 x + x^{2} + 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 3}{2 (x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{4 x + x^{2} + 3 x + x + 1 \cdot 3}{2 (x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.3.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{4 x + x^{2} + 3 x + x + 3}{2 (x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.3.2

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$\frac{4 x + x^{2} + 4 x + 3}{2 (x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.4

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 3}{2 (x + 3) (x - 1)}$